La transformación de Bogoliubov no es una transformación unitaria, ¿correcto?

Question

La transformación de Bogoliubov no es una transformación unitaria, ¿correcto?

ZJX

Para diagonalizar un término cuadrático en el modelo antiferromagnético de Heisenberg, podemos introducir la transformación de Bogoliubov: $a_k=u_k\alpha_k+v_k\beta_k^\dagger$ , $b_k^\dagger=v_k\alpha_k+u_k\beta_k^\dagger$ . Esta transformación puede diagonalizar el término cuadrático en el hamiltoniano:

\begin{aligned} H & = \sum_{k} (a_{k}^{†} a_{k} + b_{k}^{†} b_{k} + γ_{k} a_{k}^{†} b_{k}^{†} + γ_{k} a_{k} b_{k}) \\ = \sum_{k} (\begin{matrix} a_{k}^{†} & b_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{k} \\ b_{k}^{†} \end{matrix}) \\ = \sum_{k} (\begin{matrix} α_{k}^{†} & β_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} {tu}_{k} & v_{k} \\ v_{k} & {tu}_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} {tu}_{k} & v_{k} \\ v_{k} & {tu}_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} α_{k} \\ β_{k}^{†} \end{matrix}) \\ = \sum_{k} (\begin{matrix} α_{k}^{†} & β_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} ϵ_{k} & 0 \\ 0 & ϵ_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} α_{k} \\ β_{k}^{†} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} H &=\sum_k(a^\dagger_ka_k+b^\dagger_kb_k+\gamma_ka^\dagger_kb^\dagger_k+\gamma_ka_kb_k) \\ & =\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}}^\dagger & b_{\bf{k}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}} \\ b_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix} \\ & =\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}}^\dagger & \beta_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}} \\ \beta_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix} \\ & =\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}}^\dagger & \beta_{\bf{k}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\epsilon_k &0\\0 &\epsilon_k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}} \\ \beta_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix} \end{align}$

con $\epsilon_k=\sqrt{1-\gamma_k^2},u_k=\sqrt{\frac{1+\epsilon_k}{2\epsilon_k}},v_k=-\frac{\gamma_k}{\sqrt{2\epsilon_k(1+\epsilon_k)}}$ . Pero la transformación U: $\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix}$ no es unitario, porque $u_k,v_k$ Son reales, $U^\dagger\neq U^{-1}$ .

¿No se conserva el número de bosones, por lo que la transformación puede no ser unitaria? ¿Hay alguna restricción en la transformación del bosón?

Leongz

Lo que importa es que, después de la transformación, las relaciones de conmutación estándar aún se mantienen.

Leongz

relacionado: physics.stackexchange.com/q/53158

Respuestas (4)

La transformación de Bogoliubov no es una transformación unitaria, ¿correcto?

Lo que importa es que, después de la transformación, las relaciones de conmutación estándar aún se mantienen.

Everett usted · Answer 1

Tiene razón, las transformaciones de Bogoliubov no son unitarias en general. Por definición,

Las transformaciones de Bogoliubov son transformaciones lineales de operadores de creación/aniquilación que conservan las relaciones algebraicas entre ellos.

Las relaciones algebraicas son principalmente las relaciones de conmutación/anticonmutación que definen los operadores bosónicos/fermiónicos. En ninguna parte de la definición especificamos que la transformación debe ser unitaria. De hecho, la transformación de Bogoliubov (en su forma más genérica) es simpléctica para bosones y ortogonal para fermiones . En ningún caso la transformación de Bogoliubov es unitaria. La transformación de bosones de Bogoliubov corresponde a la transformación canónica lineal de los osciladores en la mecánica clásica (porque los bosones son cuantos de osciladores), y sabemos que las transformaciones canónicas lineales son simplécticas debido a la estructura simpléctica del espacio de fase clásico.

Entonces, para ser más específicos, ¿cuáles son las restricciones en las transformaciones de Bogoliubov? Consideremos el caso de $n$ modos de partículas individuales de cualquiera de los bosones $b_i$ o fermiones $f_i$ (donde $i=1,2,\cdots,n$ etiqueta los estados de una sola partícula, como los estados propios de momento). Ambas cosas $b_i$ y $f_i$ no son operadores hermitianos, que no son muy convenientes para un tratamiento general (porque no podemos simplemente tratar $b_i$ y $b_i^\dagger$ como la base independiente ya que todavía están relacionados por la transformación partícula-agujero). Por lo tanto, elegimos reescribir los operadores como las siguientes combinaciones lineales (motivados por la idea de descomponer un número complejo en dos números reales como $z=x+\mathrm{i}y$ ):

\begin{aligned} b_{i} & = a_{i} + i a_{norte + i} \\ b_{i}^{†} & = a_{i} - i a_{norte + i} \end{aligned} \begin{aligned} F_{i} & = C_{i} + i C_{norte + i} \\ F_{i}^{†} & = C_{i} - i C_{norte + i} \end{aligned}

$\begin{split}b_i&=a_i+\mathrm{i}a_{n+i}\\b_i^\dagger&=a_i-\mathrm{i}a_{n+i}\end{split}\qquad \begin{split}f_i&=c_i+\mathrm{i}c_{n+i}\\f_i^\dagger&=c_i-\mathrm{i}c_{n+i}\end{split}$ donde

a_{i} = a_{i}^{†}

$a_i=a_i^\dagger$ y

c_{i} = c_{i}^{†}

$c_i=c_i^\dagger$ (por

i = 1, 2, \dots, 2 n

$i=1,2,\cdots,2n$ ) son operadores hermitianos (análogos a los números reales). Deben heredar las relaciones de conmutación o anticonmutación de los bosones "complejos"

b_{i}

$b_i$ y fermiones

f_{i}

$f_i$ :

\begin{aligned} [b_{i}, b_{j}^{†}] = d_{i j}, [b_{i}, b_{j}] = [b_{i}^{†}, b_{j}^{†}] = 0 & \Rightarrow [a_{i}, a_{j}] = \frac{1}{2} {gramo}_{i j}^{a} \\ {F_{i}, F_{j}^{†}} = d_{i j}, {F_{i}, F_{j}} = {F_{i}^{†}, F_{j}^{†}} = 0 & \Rightarrow {C_{i}, C_{j}} = \frac{1}{2} {gramo}_{i j}^{C} \end{aligned}

$\begin{split}[b_i,b_j^\dagger]=\delta_{ij},[b_i,b_j]=[b_i^\dagger,b_j^\dagger]=0&\Rightarrow[a_i,a_j]=\frac{1}{2}g_{ij}^a \\ \{f_i,f_j^\dagger\}=\delta_{ij}, \{f_i,f_j\}=\{f_i^\dagger,f_j^\dagger\}=0&\Rightarrow\{c_i,c_j\}=\frac{1}{2}g_{ij}^c\end{split}$ donde

g_{i j}^{a}

$g_{ij}^a$ y

g_{i j}^{c}

$g_{ij}^c$ a veces se les llama la métrica cuántica para bosones y fermiones respectivamente. En forma matricial, están dadas por

{gramo}^{a} = i [\begin{matrix} 0 & 1_{norte \times norte} \\ - 1_{norte \times norte} & 0 \end{matrix}] {gramo}^{C} = [\begin{matrix} 1_{norte \times norte} & 0 \\ 0 & 1_{norte \times norte} \end{matrix}],

$g^a=\mathrm{i}\left[\begin{matrix}0&\mathbb{1}_{n\times n}\\-\mathbb{1}_{n\times n}&0\end{matrix}\right] \qquad g^c=\left[\begin{matrix}\mathbb{1}_{n\times n}&0\\0&\mathbb{1}_{n\times n}\end{matrix}\right],$ con

1_{n \times n}

$\mathbb{1}_{n\times n}$ siendo el

n \times n

$n\times n$ matriz de identidad. Entonces, preservar las relaciones algebraicas entre los operadores de creación/aniquilación es preservar la métrica cuántica . Transformaciones lineales generales de los operadores

a_{i}

$a_i$ y

c_{i}

$c_i$ tomar la forma de

a_{i} \to \sum_{j} W_{i j}^{a} a_{j} C_{i} \to \sum_{j} W_{i j}^{C} C_{j},

$a_i\to \sum_{j}W_{ij}^a a_j\qquad c_i\to \sum_{j}W_{ij}^c c_j,$ donde los elementos de la matriz de transformación

W_{i j}^{a}, W_{i j}^{c} \in R

$W_{ij}^a, W_{ij}^c\in\mathbb{R}$ debe ser real, para garantizar que los operadores

a_{i}

$a_i$ y

c_{i}

$c_i$ siguen siendo hermitianos después de la transformación. Entonces preservar la métrica cuántica es requerir

W^{a} {gramo}^{a} W^{a ⊺} = {gramo}^{a} W^{C} {gramo}^{C} W^{C ⊺} = {gramo}^{C} .

$W^a g^a W^{a\intercal}= g^a\qquad W^c g^c W^{c\intercal}= g^c.$ Entonces, cualquier transformación lineal real que satisfaga las condiciones anteriores es una transformación de Bogoliubov en el sentido más general. Luego, dependiendo de la propiedad de la métrica cuántica, la transformación de Bogoliubov es simpléctica u ortogonal. Para la métrica cuántica bosónica,

g^{a} = - g^{a ⊺}

$g^a=-g^{a\intercal}$ es antisimétrica , por lo que la transformación

W^{a}

$W^a$ es simpléctico . Para la métrica cuántica fermiónica,

g^{c} = g^{c ⊺}

$g^c=g^{c\intercal}$ es simétrica , por lo que la transformación

W^{c}

$W^c$ es ortogonal .

¿Alguien puede recomendar un recurso para aprender más sobre este formalismo, es decir, la descomposición de los operadores de creación/aniquilación como "números complejos" y la preservación de la métrica cuántica?

higgsss · Answer 2

La unitaridad de una transformación mecánica cuántica no está determinada por cómo mezcla los operadores de creación y aniquilación. (¡No importa qué tipo de matriz (ortogonal, simpléctica o unitaria) esté involucrada en la mezcla!) Más bien, se debe examinar si la transformación está asociada con un operador unitario que actúa sobre el espacio de Hilbert.

La transformación de Bogoliubov OP citada se puede representar de la siguiente manera ( $\textbf{k}$ -se suprime la dependencia):

\hat{a} \to {\hat{a}}^{'} = aporrear λ \hat{a} + pecado λ {\hat{b}}^{†}, {\hat{b}}^{†} \to {\hat{b}}^{' †} = pecado λ \hat{a} + aporrear λ {\hat{b}}^{†},

$\hat{a} \ \ \rightarrow \ \ \hat{a}^{\prime} =\, \cosh\lambda\, \hat{a} \,+\, \sinh\lambda\,\hat{b}^{\dagger}, \\ \hat{b}^{\dagger}\ \ \rightarrow\ \ \hat{b}^{\prime\,\dagger} =\, \sinh\lambda\, \hat{a} \,+ \,\cosh\lambda\,\hat{b}^{\dagger},$ donde

λ

$\lambda$ es un número real. Esta transformación es unitaria si y solo si existe un operador unitario

U

$U$ tal que

{\hat{a}}^{'} = tu \hat{a} {tu}^{- 1}, {\hat{b}}^{' †} = tu {\hat{b}}^{†} {tu}^{- 1} .

$\hat{a}^{\prime} = U \hat{a} U^{-1},\\ \hat{b}^{\prime\,\dagger} = U \hat{b}^{\dagger} U^{-1}.$ En efecto, estas relaciones se cumplen con la siguiente elección:

tu = Exp [λ (\hat{a} \hat{b} - {\hat{b}}^{†} {\hat{a}}^{†})],

$U = \exp\Big[\lambda(\hat{a}\hat{b} - \hat{b}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger})\Big],$ por lo que la transformación es unitaria.

Hola higgsss, me gustaría saber cómo se deriva esta transformación unitaria. ¿Hay un procedimiento general de derivaciones para esto?
También me interesa saber cómo derivar el operador unitario de la transformación. Sería bueno si me puede dar algunas ideas en esa dirección.

Lawrence B Crowell · Answer 3

Déjame trabajar en esta parte de la ecuación matricial.

H = \sum_{k} (\begin{matrix} a_{k}^{†} & b_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{k} \\ b_{k}^{†} \end{matrix}) = \sum_{k} (\begin{matrix} α_{k}^{†} & β_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} {tu}_{k} & v_{k} \\ v_{k} & {tu}_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} {tu}_{k} & v_{k} \\ v_{k} & {tu}_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} α_{k} \\ β_{k}^{†} \end{matrix})

$H=\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}}^\dagger & b_{\bf{k}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{\bf{k}} \\ b_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix}=\sum_{\bf{k}} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}}^\dagger & \beta_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_{\bf{k}} \\ \beta_{\bf{k}}^\dagger\end{pmatrix}$ Lo importante es que se puede ver la transformación de los campos así como una transformación de la matriz

Γ = (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} {tu}_{k} & v_{k} \\ v_{k} & {tu}_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & γ_{k} \\ γ_{k} & 1_{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} {tu}_{k} & v_{k} \\ v_{k} & {tu}_{k} \end{matrix}) = {METRO}^{†} Γ METRO,

$\Gamma~=~\begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1\end{pmatrix}~\rightarrow~\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &\gamma_{\bf{k}}\\\gamma_{\bf{k}} & 1_{\bf{k}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k &v_{{k}}\\v_{k} & u_{k}\end{pmatrix}~=~M^\dagger\Gamma M,$ donde

M^{†} = M

$M^\dagger~=~M$ . El determinante de esto es

d e t (M Γ M) = d e t (M) d e t (Γ) d e t (M)

$det(M\Gamma M)~=~det(M)det(\Gamma)det(M)$

= d e t (Γ)

$=~det(\Gamma)$ El determinante de

M

$M$ luego da

u_{k}^{2} - v_{k}^{2} = 1

$u_k^2~-~v_k^2~=~1$ . Estos pueden ser representados entonces por

u_{k} = s i n h (k)

$u_k~=~sinh(k)$ y

v_{k} = c o s h (k)

$v_k~=~cosh(k)$ .

Ahora evalúe el conmutador $[a_k,~a^\dagger_k]$

[a_{k}, a_{k}^{†}] = {tu}_{k}^{2} [α_{k}, α_{k}^{†}] + v_{k}^{2} [β_{k}^{†}, β_{k}] = {tu}_{k}^{2} [α_{k}, α_{k}^{†}] - v_{k}^{2} [β_{k}, β_{k}^{†}] .

$[a_k,~a^\dagger_k]~=~u_k^2[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~+~v_k^2[\beta^\dagger_k,~\beta_k]~=~u_k^2[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~-~v_k^2[\beta_k,~\beta^\dagger_k].$ Para los conmutadores

[α_{k}, α_{k}^{†}] = [β_{k}, β_{k}^{†}] = 1

$[\alpha_k,~\alpha_k^\dagger]~=~[\beta_k,~\beta_k^\dagger]~=~1$ y entonces vemos

[a_{k}, a_{k}^{†}] = 1

$[a_k,~a_k^\dagger]~=~1$ . Lo mismo vale claramente

[b_{k}, b_{k}^{†}] = 1

$[b_k,~b_k^\dagger]~=~1$ Esto significa que cualquier sistema con

N ℏ

$N\hbar$ unidades de acción es constante. No hay cambio en el volumen del espacio de fase del sistema. esto significa que las transformaciones de Bogoliubov son efectivamente unitarias.

Entonces la definición de las transformaciones unitarias generales es más larga $U^{\dagger}=U^{-1}$ que aprendemos del libro de texto? No entiendo 'Esto significa que cualquier sistema con Nℏ unidades de acción es constante. No hay cambio en el volumen del espacio de fase del sistema', ¿quieres explicarlo?
Por cierto, ¿existe alguna restricción en la transformación del sistema bosónico (Hamiltoniano)?
@ZJX No entiendo por qué Lawrence dijo que las transformaciones bosónicas de Bogoliubov son "efectivamente unitarias". Creo que deberían ser simplécticos en general. La restricción proviene de preservar la definición de los operadores bosónicos (de modo que los operadores bosónicos permanezcan bosónicos bajo la transformación). No hay restricción proveniente del sistema bosónico (Hamiltoniano). Mientras el hamiltoniano sea hermitiano, es un hamiltoniano legítimo. Cualquier transformación simpléctica aplicada al hamiltoniano es una transformación legítima de Bogoliubov.

RoderickLee · Answer 4

No, es una transformación unitaria, pero solo cuando consideras el electrón y el agujero del hamiltoniano juntos.

Pero aquí, el modelo se trata de espín, no es el fermión, ¿verdad?

La transformación de Bogoliubov no es una transformación unitaria, ¿correcto?

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