Derivación de Fetter & Walecka del segundo término potencial cuantificado en TDSE de muchas partículas

Para el término potencial en el hamiltoniano, entiendo que pasamos por el mismo proceso que con el término energía cinética. En el RHS del TDSE, obtenemos algo como 1 2 ∑ i ∑ j ≠ i ∑ k ∑ yo ≠ k ⟨ i j | V | k yo ⟩ C ( … mi i − 1 mi k mi i + 1 … mi j − 1 mi yo mi j + 1 … ; t ) .

Reordenar la lista de argumentos de C ( … ) en el RHS incurre en un factor de fase de ( − 1 ) PAG , dónde PAG depende del orden de i , j , k , yo .

Algunos ejemplos: si su orden de ascenso es...

k i yo j : PAG = norte k + 1 + ⋯ + norte i − 1 + norte yo + 1 + ⋯ + norte j − 1

k yo i j : PAG = norte k + 1 + ⋯ + norte i − 1 + norte yo + 1 + ⋯ + norte j − 1

yo i k j : PAG = norte i + 1 + ⋯ + norte k − 1 + norte yo + 1 + ⋯ + norte j − 1 + 1 [el extra + 1 proviene del hecho de que i y j se colocan con 'polaridad' opuesta a k y yo , Por lo tanto, la mi k , mi yo tienen que intercambiarse entre sí para entrar en las posiciones correctas]

Como arriba, según mis cálculos, PAG ( k yo i j ) = PAG ( k i yo j ) , sin embargo si calculamos ( − 1 ) PAG al operar en | { norte metro } ⟩ como a i † a j † a yo a k | { norte metro } ⟩ , Yo obtengo ( − 1 ) S k + S yo − 1 + S j − 2 + S i − 2 | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte j + 1 … norte i + 1 ⟩ = ( − 1 ) S k + S yo + S j + S i − 1 | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte j + 1 … norte i + 1 … ⟩

si la orden es k yo i j pero

( − 1 ) S k + S yo − 1 + S j − 2 + S i − 1 | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte j + 1 … norte i + 1 … ⟩ = ( − 1 ) S k + S yo + S j + S i | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte j + 1 … norte i + 1 … ⟩

si la orden es k i yo j . El orden de i y yo parece importar cuando calculo el factor de fase mediante la aplicación sucesiva del a , a † pero no cuando lo calculo reordenando los argumentos de la C ( … ) coeficientes ¿Dónde me estoy equivocando?

Respuestas (2)

Deje que el orden de los números de ocupación norte metro en los estados de Fock ser tal que ( k yo i j ⇔ k < yo < i < j ) y deja S metro = norte 1 + norte 2 + ⋯ + norte metro − 1 ser factores de fase calculados antes de aplicar cualquier operador de creación/aniquilación.

Tiene en cuenta, correctamente, que la aplicación de un operador de aniquilación reduce el factor de fase para la acción del siguiente operador en 1 , pero también debe tener en cuenta el hecho de que aplicar un operador de creación eleva el factor de fase para el siguiente operador en 1.

toma el k yo i j , k < yo < i < j caso, paso a paso:

a j † a i † a yo a k | … norte k … norte yo … norte i … norte j … ⟩ = ( − 1 ) S k d norte k , 1 a j † a i † a yo | … norte k − 1 … norte yo … norte i … norte j … ⟩ = = ( − 1 ) S k + S yo − 1 d norte k , 1 d norte yo , 1 a j † a i † | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte i … norte j … ⟩ = = ( − 1 ) S k + S yo − 1 + S i − 2 d norte k , 1 d norte yo , 1 d norte i , 0 a j † | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte i + 1 … norte j … ⟩ = = ( − 1 ) S k + S yo − 1 + S j − 2 + S i − 2 + 1 d norte k , 1 d norte yo , 1 d norte i , 0 d norte j , 0 | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte i + 1 … norte j + 1 … ⟩ = = ( − 1 ) S k + S yo + S j + S i d norte k , 1 d norte yo , 1 d norte i , 0 d norte j , 0 | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte i + 1 … norte j + 1 … ⟩
Ahora toma el k i yo j , k < i < yo < j caso:
a j † a yo † a i a k | … norte k … norte i … norte yo … norte j … ⟩ = ( − 1 ) S k d norte k , 1 a j † a yo † a i | … norte k − 1 … norte i … norte yo … norte j … ⟩ = = ( − 1 ) S k + S i − 1 d norte k , 1 d norte i , 1 a j † a yo † | … norte k − 1 … norte i − 1 … norte yo … norte j … ⟩ = = ( − 1 ) S k + S i − 1 + S yo − 2 d norte k , 1 d norte i , 1 d norte yo , 0 a j † | … norte k − 1 … norte i − 1 … norte yo + 1 … norte j … ⟩ = = ( − 1 ) S k + S i − 1 + S yo − 2 + S j − 2 + 1 d norte k , 1 d norte i , 1 d norte yo , 0 d norte j , 0 | … norte k − 1 … norte i − 1 … norte yo + 1 … norte j + 1 … ⟩ = = ( − 1 ) S k + S yo + S j + S i d norte k , 1 d norte i , 1 d norte yo , 0 d norte j , 0 | … norte k − 1 … norte i − 1 … norte yo + 1 … norte j + 1 … ⟩
Se comprueba.

Gracias de nuevo. Sin embargo, un par de preguntas. En el k yo i j caso, cuando finalmente aplicamos a i † , no i < j Significa que a i † | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte j + 1 … ⟩ = a i † … a k − 1 † a k + 1 † … a yo − 1 † a yo + 1 † … a j − 1 † a j † a j + 1 † … | 0 ⟩ = ( − 1 ) S i − 2 + 0 … a k − 1 † a k + 1 † … a yo − 1 † a yo + 1 † … a i − 1 † a i † a i + 1 † … a j − 1 † a j † a j + 1 † … | 0 ⟩ , en lugar de con el 1 adicional en el factor de fase?
¿Y por qué se nos permite cambiar el orden de los operadores en el k i yo j ¿caso?
Bienvenido. Acerca de i < j : De la ordenación de la final norte metro -s en ambos k yo i j y k i yo j casos, que va | … norte k − 1 … norte yo − 1 … norte j + 1 … norte i + 1 … ⟩ , infiero que los índices deben ser tales que k < yo < j < i , y de la disminución/aumento de los números de ocupación que debe haber ops de creación. para i y j y operaciones de aniquilación. para k y yo . Pero si en cambio i < j , sí, entonces tendrías ( − 1 ) S i − 2 s i norte C mi a_i^\dagger$ sería anticonmutador con 2 operaciones menos.
En cuanto al orden de intercambio, nuevamente dado el estado final, asumí que las operaciones son las mismas, pero se intercambiaron en orden. ¿Supongo que tenías algo más en mente?
Lo siento. ordené el norte k , norte yo etc. incorrectamente en los estados. Quise decir el orden como se especifica en el k yo i j , k i yo j etc, entonces k yo i j → k < yo < i < j , Por ejemplo.
Ok, traté de corregir. ¿Tiene esto sentido ahora?
En un segundo pensamiento, los términos que reescribí en la respuesta solo parecen una nueva etiqueta entre sí. Creo que el segundo no es lo que preguntaste, pero no estoy seguro de tener la idea correcta para solucionarlo. ¿Podría anotar explícitamente, para cada caso, el C coeffs y ops-state formas que tiene en mente? Por ejemplo, algo como C ( … mi k − 1 mi k + 1 … mi yo − 1 mi yo + 1 … mi i − 1 mi k mi i + 1 … mi j − 1 mi yo mi j + 1 … ) contra a j † a i † a yo a k | … norte k … norte yo … norte i … norte j … ⟩ , etc.
Hola @udrv. Bastante seguro de que he descubierto dónde me he equivocado. Publicó una respuesta si desea echar un vistazo.

Me di cuenta de dónde me estaba equivocando. Refiriéndose al contenido de mi pregunta, en el k yo i j caso, es decir k < yo < i < j , al reordenar el C ( … ) lista de argumentos en el RHS, mi yo tiene que ser intercambiado más allá del espacio donde el vacante mi i sería, por lo tanto, en este caso

PAG ( k yo i j ) = norte k + 1 + ⋯ + norte i − 1 + ⋯ + norte yo + 1 + ⋯ + norte j − 1 − 1 = S i − S k − norte k + S j − S yo − norte yo − 1

y por lo tanto el factor de fase, ( − 1 ) PAG ( k yo i j ) = ( − 1 ) S i + S k − norte k + S j + S yo − norte yo − 1 , que, con la d norte k 0 d norte yo 0 en el RHS, da ( − 1 ) S i + S k + S j + S yo − 1 . Este es el mismo factor de fase que obtienes cuando operas en el estado como a i † a j † a yo a k | { norte metro } ⟩ como mencioné en la pregunta original.

Derivación de Fetter & Walecka del segundo término potencial cuantificado en TDSE de muchas partículas
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