Transformación activa y transformación pasiva de un campo escalar [duplicado]

Punto de vista pasivo :

Alice observa un campo$\phi$en el lugar$x = x_0$en su laboratorio en Princeton USA, y encuentra valor de campo$\phi(x_0)=\phi_0$. Bob observa la medida de Alice desde su laboratorio en Cambridge, Reino Unido. En su marco, ve la ubicación de Princeton como$x' = \Lambda x_0$y confirma el mismo valor de campo que Alice, que para él dice$\phi'(x') = \phi(x_0)=\phi_0$, por eso

$$\phi'(\Lambda x_0) = \phi(x_0)$$

Punto de vista activo :

Alicia vuelve a observar el campo.$\phi$en el lugar$x = x_0$en su laboratorio y encuentra valor de campo$\phi(x_0)=\phi_0$. Pero esta vez, Bob decide reproducir su experimento de manera idéntica en su laboratorio y medir el mismo campo en la misma ubicación exacta en relación con su marco .$x' = x_0$. Todo va bien y Bob encuentra el mismo valor que Alice, lo que significa

$$\phi'(x_0) = \phi(x_0)$$ Si la ubicación de la observación de Alice vista desde el marco de Bob es ${\bar x}_0 = \Lambda x_0$, entonces a la inversa $x_0 = \Lambda^{-1}{\bar x_0}$y Bob puede decir eso $$\phi'(x_0) = \phi(\Lambda^{-1} {\bar x_0})$$

Consulte, por ejemplo, estas notas sobre QFT en variedades , en particular la siguiente tabla después de la ecuación (8):

Hay mucha confusión en la literatura con respecto a la llamada interpretación activa y pasiva de las transformaciones cuando se trata de campos escalares. Sin embargo, esta terminología y la correspondiente dicotomía tiene su origen en las aplicaciones del álgebra lineal (por ejemplo, la visión artificial) donde es más relevante y los conceptos son más claros. El artículo de Wikipedia sobre este tema deja este punto muy claro.

Transformación de espacios vectoriales:

Considere una transformación espacial$T:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3$. Esto se puede interpretar para transformar un vector$v = v_1 e_x + v_2 e_y + v_3 e_z \in \mathbb R^3$mantener la base fija o transformar la base inicial$\{e_x,e_y,e_z\}$de$\mathbb R^3$manteniendo el vector$v$fijado. Estas dos líneas de interpretación de$T$ir por dos nombres.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{vector } v \text{ rotates} \left(T: v \mapsto v'=Tv \equiv v_1' e_x + v_2' e_y + v_3' e_z\right), \\ & && \text{basis }\{e_x,e_y,e_z\} \text{ remains unchanged}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{vector } v \text{ stays put}, \\ & && \text{basis rotates } \left(\{e_x,e_y,e_z\}\mapsto \{T^{-1}e_x, T^{-1}e_y, T^{-1}e_z\}\right). \end{aligned}$$

De la primera interpretación$v = T^{-1}v'$, resulta que$v = v_1' \tilde e_x + v_2' \tilde e_y + v_3' \tilde e_z$dónde$\tilde e_x := T^{-1} e_x$,$\tilde e_y := T^{-1} e_y$y$\tilde e_z := T^{-1} e_z$son los vectores base transformados de la segunda interpretación. Así, el vector original$v$en la base rotada$\{\tilde e_x, \tilde e_y, \tilde e_z\}$(en el punto de vista pasivo) tiene exactamente las mismas coordenadas$(v_1',v_2',v_3')$como el vector rotado$v'$en la base original (el punto de vista activo).

Transformación de campos escalares

Esta dicotomía no es muy útil cuando se trata de campos escalares y, por lo tanto, la literatura carece de una definición canónica para estos conceptos. Una forma de pensar en ellos podría ser como el usuario @ udrvha escrito. Aquí hay otra forma que es igualmente popular. Un campo escalar es un mapa de valor real$\phi : \Omega \subset \mathfrak{M}_4 \to \mathbb R$. Considere una transformación$T:\Omega \to \Omega' \subseteq \Omega$del dominio del espacio-tiempo subyacente. Ahora, uno puede imaginar un campo rotado$\phi_A := \phi \circ T^{-1}: \Omega' \to \mathbb R$o un campo de rotación opuesta$\phi_P := \phi \circ T: \Omega \to \mathbb R$para visualizar esta transformación. Los dos nuevos campos se pueden interpretar de la siguiente manera.

$$\begin{aligned} &\textit{Active (alibi) transformation}: && \text{field configuration } \phi\big|_{\Omega'} : \Omega' \to \mathbb R \text{ has morphed into } \phi_A : \Omega' \to \mathbb R,\\ & && \text{leaving the spacetime domain } \Omega' \text{untouched}. \\ \\ &\textit{Passive (alias) transformation}: && \text{field configuration } \phi_P \text{ is simply } \phi \text{ acting on a rotated domain},\\ & && \text{which is to say, } \phi_P(x) = \phi(T(x)) \text{ where } T:\Omega \to \Omega', x \mapsto x'. \end{aligned}$$

Contraste esto con urdvla respuesta de @ donde (s) ha emitido$\phi_A\, (=\phi')$según la interpretación pasiva. Esto debería indicarle que cualquier redefinición de campo obtenida a partir de una transformación del espacio-tiempo se puede ver tanto en interpretaciones activas como pasivas, y tales nombres/interpretaciones vacíos no tienen ningún valor físico o matemático.