Demostración de la invariancia de Lorentz del elemento de espacio de fase invariante de Lorentz

He estado buscando una respuesta satisfactoria para probar que

$$\frac{d^3\vec{p}}{2E_{\vec{p}}}$$

dónde$E_{\vec{p}}=+\sqrt{(|\vec{p}|c)^2+(mc^2)^2}$, es invariante de Lorentz. La respuesta estándar parece ser que la medida anterior es igual a

$$d^4p \, \delta (p^2-m^2)\theta(p_0)$$

dónde$p^2=p_0^2-|\vec{p}|^2$, y$\theta(x)$es la función de paso. Entiendo que estos dos son equivalentes, pero no entiendo por qué el segundo tiene que ser invariante de Lorentz, en particular por qué el delta de Dirac tiene que ser invariante de Lorentz. He encontrado un documento (sección 2.1) que prueba que$\delta^{(4)}(p-p')$es invariante de Lorentz, pero no puedo encontrar una manera de extender su método con éxito aquí. De hecho, todo lo que puedo obtener me dice que lo anterior no es invariante de Lorentz, y que, de hecho, debería transformarse en

$$\frac{d^3\vec{p}'}{2\gamma E_{\vec{p}'}}$$

lo que tiene sentido de$d^4p$siendo Lorentz invaraint y$dp_0$transformando proporcional a$\gamma$, pero no es lo que todos los demás dicen. ¿Cuál es el problema aquí?

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Una forma alternativa de "derivar" el factor de$1/\gamma$:

$$\delta (p^2-m^2)\theta(p_0)=\frac{1}{E_{\vec p}}\delta(p_0-E_{\vec{p}})$$

No fue$dp_0$se transforma en$\gamma dp_0$, el$\delta(p_0-E_{\vec{p}})$debe transformarse en$\gamma^{-1}\delta(p_0-E_{\vec{p}})$, como se puede demostrar con un argumento análogo al mostrado en el documento . El$E_{\vec{p}}$también se transforma en$\gamma(E_{\vec{p}}-v p_x)$por un$x$-impulso, pero esto no parece resolverlo.