Fuerza centrífuga y coordenadas polares

Question

Fuerza centrífuga y coordenadas polares

usuario1604449

En Mecánica clásica, tanto Goldstein como Taylor (autores de diferentes libros con el mismo título) hablan sobre el término de fuerza centrífuga al resolver la ecuación de Euler-Lagrange para el problema de los dos cuerpos, y estoy un poco confundido acerca de lo que significa exactamente: ¿Es una fuerza centrífuga real o una consecuencia matemática del uso de coordenadas polares para resolver la ecuación de Euler-Lagrange?

Sus derivaciones del Lagrangiano

L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) - tu (r)

$L=\frac{1}{2}\mu(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-U(r)$ conduciría a un movimiento de ecuación (theta) que muestra que el momento angular es constante y una ecuación de movimiento radial que se muestra como

m \ddot{r} = - \frac{d tu}{d r} + m r {\dot{ϕ}}^{2} = - \frac{d tu}{d r} + F_{C F} .

$\mu\ddot{r}=-\frac{dU}{dr}+\mu r\dot{\phi}^{2}=-\frac{dU}{dr}+F_{cf}.$ Ellos llaman

μ r {\dot{ϕ}}^{2}

$\mu r\dot{\phi}^{2}$ la fuerza ficticia o la fuerza centrífuga. Estoy bastante confuso en mi memoria de marcos no inerciales, pero supuse que las fuerzas ficticias solo aparecen en marcos no inerciales. El marco de referencia en el problema de los dos cuerpos se eligió de tal manera que el centro de masa de los dos cuerpos sería el origen, por lo que sería un marco inercial, y asumo que no hay marcos no inerciales involucrados ya que ninguno de los autores había hablado de ello en los capítulos anteriores.

estaría llamando $\mu r\dot{\phi}^{2}$ una fuerza centrífuga real sería incorrecta entonces? ¿No es un término que describe la velocidad perpendicular al radio? A partir de este problema de dos cuerpos, parece que si tuviera que usar coordenadas polares al resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange para cualquier otro problema, el término de fuerza centrífuga siempre aparecerá, por lo que sería una consecuencia matemática de la elección de la coordenada. sistema en lugar de ser una fuerza ficticia real. ¿Ese término se llama fuerza centrífuga porque en realidad es una fuerza centrífuga o es porque tiene una forma matemática similar?

Respuestas (2)

Fuerza centrífuga y coordenadas polares

qmecanico · Answer 1

Hay dos descripciones equivalentes. $^1$ del problema de dos cuerpos reducido con un potencial central $V(r)$ :

En un marco inercial sin fuerzas ficticias: Aquí $\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot{\theta}^{2}$ es la parte angular de la energía cinética.
En un marco giratorio siguiendo la partícula reducida con fuerzas ficticias y solo cinemática radial 1D: Aquí $-\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot{\theta}^{2}$ es el potencial centrífugo (¡observe el signo menos!).

Cada descripción conduce al mismo Lagrangiano

L = T - tu = L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) - V (r) .

$L~=~T-U~=~L=\frac{1}{2}\mu(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2})-V(r).$

$^1$ La partícula reducida está confinada a un plano de órbita, por lo que el problema es efectivamente bidimensional descrito por dos coordenadas $r$ y $\theta$ . En ambas descripciones, el centro de masa sirve como origen del marco de referencia. El movimiento del centro de masa en sí mismo es trivial, ya que no hay fuerzas externas.

Veo lo que pasó. Así que hay dos interpretaciones. La primera es la energía cinética cuando se deriva usando coordenadas polares. El segundo surge al cambiar a un problema 1-D. Para esto hay más de una forma: en Goldstein una involucra la integración que es un fastidio (Goldstein 3rd ed p.75) y la otra es considerarlo como un problema ficticio 1-D (p.76-77), que es más fácil. Este problema ficticio cambia la interpretación de $\frac{1}{2}\mu r^{2}\dot{\theta}^{2}$ de la energía cinética a la energía potencial aportada por la energía potencial. Supongo que esto es principalmente reiterar lo que has dicho.
@Qmechanic♦ ¿Por qué dijiste que el centro de masa es el origen del marco de referencia? Si utiliza la masa reducida $\mu$ , ¿no debería ser uno de los dos cuerpos el origen del sistema?
$\uparrow$ @Sørën: No. (Tenga en cuenta que la formulación de la primera ley de Kepler en Wikipedia trata la proporción $m/M_{\odot}$ como cero, ignorando así el movimiento del Sol, lo que posiblemente sea confuso en el contexto anterior).
@Qmechanic♦ Entonces, en realidad, el centro de masa coincide con $M_{\odot}$ ?
$\uparrow$ @Sørën: No, solo en una muy buena aproximación.

Arte Marrón · Answer 2

Creo que te saltaste un paso...

Una vez que muestres ese momento angular $l$ es una constante del movimiento que puedes eliminar $\dot{\theta}$ de la ecuación de movimiento bidimensional y llegar a una ecuación en 1 variable independiente solamente ( $r$ ):

m \ddot{r} - \frac{{yo}^{2}}{m r^{3}} = - \frac{d tu}{d r}

$\mu \ddot{r} - \frac{l^2}{\mu r^3} = -\frac{dU}{dr}$ Si lo piensas bien, este nuevo espacio unidimensional es de hecho un marco no inercial (si fuera inercial, la masa caería a

r = 0

$r=0$ ), por lo que no sorprende ver un nuevo término de fuerza además del gradiente de potencial original.

Goldstein luego interpreta el nuevo término como "la familiar fuerza centrífuga" reescribiéndolo:

\frac{{yo}^{2}}{m r^{3}} = m r {\dot{θ}}^{2} = \frac{m v_{θ}^{2}}{r}

$\frac{l^2}{\mu r^3} = \mu r \dot{\theta}^2 = \frac{\mu v_\theta^2}{r}$

Y es cierto: esa nueva fuerza es de hecho una de las fuerzas no inerciales (la centrífuga) que surgen si uno analiza el problema en un marco giratorio con velocidad angular $\omega=\dot{\theta}$ .

Aparte : las otras fuerzas no inerciales en un marco giratorio surgen de cantidades variables en el tiempo. Se puede demostrar que todo el potencial no inercial es dependiente de la velocidad, análogo al del electromagnetismo:

{tu}_{r o t} = m {[- \frac{{(ω \times r)}^{2}}{2}] - \dot{r} \cdot (ω \times r)}

$U_{rot} = \mu \left\{ \left[ - \frac{\left( \boldsymbol{\omega \times r} \right)^2}{2} \right] - \boldsymbol{ \dot{r} \cdot \left( \boldsymbol{\omega \times r} \right) } \right\}$

El primer término da la fuerza centrífuga, el segundo las fuerzas de Coriolis y Euler (si $\boldsymbol{\omega}$ no es constante).

¡Qué casualidad! Finalmente respondí y fue al mismo tiempo que tú. No pensé en el marco de inercia y la masa cayendo a $r = 0$ . Más alimento para el pensamiento. ¡Gracias!

Fuerza centrífuga y coordenadas polares

usuario1604449

Respuestas (2)

qmecanico

usuario1604449

Sørën

qmecanico

Sørën

qmecanico

Arte Marrón

usuario1604449

Arte Marrón

Derivación de la energía potencial efectiva del Lagrangiano de un sistema de dos cuerpos [duplicado]

¿Cómo se puede resolver esta "paradoja"? Potencial central

Lagrangiano de un potencial efectivo

Confusión sobre la imposición de restricciones en la acción.

Encontrar coordenadas generalizadas cuando falla el teorema de la función implícita

Posible error en la dinámica clásica de partículas y sistemas de Marion y Thornton

Lagrangiano en marco de referencia no inercial

La ecuación de Lagrange es invariante en CADA transformación de coordenadas. Las ecuaciones de Hamilton no están bajo CADA transformación del espacio de fase. ¿Por qué?

Lagrangiano de un sistema de doble péndulo 2D con resorte

Coordenadas curvilíneas y vectores base