¿Marcos no inerciales en mecánica lagrangiana?

Deje que las ecuaciones de movimiento se expresen en un marco con coordenadas$q$. Ahora queremos cambiar a otro marco (que se mueve arbitrariamente), cuyas coordenadas correspondientes son$Q$, dada por:

$$Q = f(q, t)$$ Por ejemplo, si el marco mismo se mueve con la posición $x(t)$, tendremos: $$Q = q - x(t)$$ (dónde $x$no es dinámico, pero está completamente especificado de antemano).

Obviamente, esto es, en el caso general, solo una transformación puntual que sigue cambiando con el tiempo; o, si lo prefiere, una transformación de punto diferente en diferentes momentos. Y así es como cabría esperar que fuera: esto se deriva directamente del hecho de que el marco en movimiento se está moviendo.

Esto no necesariamente deja invariantes las ecuaciones de movimiento. Es cierto que las ecuaciones de Euler-Lagrange (tenga en cuenta que ahora se debe permitir que el Lagrangiano dependa del tiempo)

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L(q, \dot{q}, t)}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L(q, \dot{q}, t)}{\partial q}$$ continúan sosteniéndose, pero el cambio en la forma del Lagrangiano efectuado por el cambio de marco significa que las ecuaciones de movimiento pueden 'parecer' diferentes.

En el caso de que esta transformación de punto sea también una transformación de calibre, tenemos una situación especial. Considere el siguiente ejemplo relevante. En mecánica clásica, a partir de un marco inercial, el Lagrangiano es:

$$L(q, \dot{q}) = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - V(q)$$ La transformación general a un marco en movimiento arbitrario (no giratorio, por simplicidad) está dada por $q = Q + x(t)$, de modo que $\dot{q} = \dot{Q} + \dot{x}(t)$, y el lagrangiano se convierte en: $$L(Q, \dot{Q},t) = \frac{1}{2}m\dot{Q}^2 + m\dot{Q}\dot{x}(t) + \frac{1}{2}m\dot{x}(t)^2 - V(Q+x(t))$$ El término cuadrático en $\dot{x}$produce solo un término de frontera pura en la acción $S = \int L dt$, y es irrelevante. El principal término de interés es el segundo (responsable de las fuerzas ficticias y parte del potencial generalizado, como se menciona en esta respuesta a la pregunta que vinculó), y su contribución a la acción: $$S_2 = \int m\dot{Q}\dot{x}(t)\ dt$$ Integrando por partes y despreciando el término límite, obtenemos $$S_2' = -\int mQ\ddot{x}(t) \ dt$$ Esto da fácilmente la respuesta: para que la "transformación de punto dependiente del tiempo", que corresponde a un cambio de marco, sea una transformación de calibre, debemos tener $\ddot{x}(t) = 0$para todo el tiempo. En este caso, obtenemos la parte importante de la acción como: $$S' = \int \left[ \frac{1}{2}m\dot{Q}^2 - V(Q, t) \right] dt$$ Esto apenas es diferente de lo que comenzamos (la dependencia del tiempo en $V$no es un problema, y ​​​​es solo un reflejo del hecho de que el "campo" también parecería moverse en un marco en movimiento; lo importante es que en un momento dado $t$, la partícula ve la misma fuerza $-\nabla V$en su ubicación en ambos marcos).

De hecho, esto es lo que hace que los marcos inerciales ($\ddot{x} = 0$visto desde otro marco inercial) especial: la transformación puntual general debida a los marcos de conmutación se reduce a una transformación de calibre, y la ecuación de movimiento 'parece' la misma, es decir, 'invariancia galileana'. Que esto no ocurra en marcos no inerciales conduce a las fuerzas ficticias que se ven en dichos marcos.