Trabajo realizado por un gas ideal expresado como cambio en la energía potencial del fluido

El trabajo es siempre fuerza por desplazamiento en la dirección de la fuerza. El único lugar donde el gas está haciendo trabajo es en la superficie inferior que se mueve hacia abajo. La fuerza que está ejerciendo allí es$PA$, dónde$P$es la presión del gas y$A$es el área de la sección transversal del tubo. Si la superficie inferior se mueve hacia abajo una distancia diferencial dx, el trabajo realizado por el gas es$dW=PA \ dx$. Pero$A\ dx$es el cambio de volumen$dV$del gas Por lo tanto, la cantidad diferencial de trabajo que realiza el gas es$P\ dV$. Simplemente integre esto para obtener la cantidad total de trabajo realizado.

Tu intuición de que la misma cantidad de fluido baja y luego sube en la misma cantidad es incompleta, te estás olvidando de lo que sucede dentro del fluido. Es más fácil de ver usando bloques sólidos como en la figura a continuación:

Aquí puede ver que el efecto de mover el bloque 1 hacia abajo es cambiar el bloque 2 a la derecha, y mover el bloque 3 hacia arriba la misma cantidad que bajó el bloque 1, luego, además de eso, mueve el bloque 4 hacia arriba. Puedes calcular el cambio de energía bloque por bloque (fácil para bloques pero difícil para fluidos), o por el cambio neto en la configuración: imagina que fue el bloque uno el que se movió sobre el bloque 4 y el resto no se movió. Ambas formas de calcularlo darán como resultado el mismo cambio positivo en la energía potencial.

Para ilustrar la idea, el trabajo realizado por el gas será igual a la energía transferida al ambiente, si no hay pérdidas de calor, esto se puede calcular como el cambio de energía potencial del mercurio más el trabajo realizado en la atmósfera:

$W=P_{atm}\Delta V-m_Ag\Delta h_A/2+m_Bg(d+\Delta h_B/2)$

usando$m=\rho_{Hg} \Delta V$y$\Delta h_i=\Delta V /S_i$obtenemos:

$W=P_{atm}\Delta V+ \frac{1}{2}\rho_{Hg} g(\Delta V)^2 (\frac{1}{S_B}-\frac{1}{S_A})+\rho_{Hg} g d\Delta V$

¡Tu enfoque es casi correcto!

Para ver lo que está mal, considere el caso$d = 0$. Luego, para un pequeño cambio en el volumen, el cambio en la energía potencial del agua es cero (ya que solo estás moviendo agua desde el lado izquierdo hacia agua a la misma altura en el lado derecho). Pero el gas definitivamente ha hecho$p \, dV$trabajar.

El error es que has despreciado el trabajo realizado sobre la atmósfera, es decir, sobre el gas en la parte abierta del extremo derecho del tubo. Cuando$d = 0$, la presión atmosférica es igual a la presión del gas$p$, entonces el trabajo realizado en el aire es$p\, dV$. La energía simplemente pasa de un gas a otro.

En general, su enfoque funcionará, pero debe tener cuidado de incluir todas las contribuciones. ¡El ambiente es fácil de olvidar!