Trabajo realizado por F⃗ =sin(x2)x^+(3x−y)y^F→=sin⁡(x2)x^+(3x−y)y^\vec F=\sin(x^2)\hat x+(3x-y)\qué y necesita integral problemática?

Consideramos el triangulo$T$formado por los puntos$(3,0)$,$(0,4)$,$(0,0)$.

Denotar$L_{1}:(0,0)\to (3,0)\\ L_{2}:(3,0)\to (0,4)\\L_{3}:(4,0)\to(0,0)$.

$F= P(x,y)\hat{i}+Q(x,y)\hat{j}$

y

$L=L_{1}+L_{2}+L_{3}$

Entonces tenemos por el teorema de Green en un plano (teorema de Stokes): -

$$\int_{L} F\cdot d\vec{r} = \iint_{T}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$ .

Pero tú tienes$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3$.

Y la integral doble de una constante sobre una región es simplemente la constante por el área de esa región. Entonces:-

$$\int_{L} F\cdot d\vec{r}=3\cdot\text{Area of triangle} = 3\cdot 6 = 18$$ .

Así que tienes :-

$$\int_{L_{1}} + \int_{L_{2}}+\int_{L_{3}}=18$$

$$\int_{L_{1}} + \int_{L_{2}} = 18-\int_{L_{3}}$$ .

Así que tienes

$$\int_{L_{3}}F\cdot \vec{r} =\int_{4}^{0}(F\cdot\hat{j})dy= \int_{4}^{0} -y\,dy = 8$$ (Como a lo largo$L_{3}$tenemos$x=0$)

Así que nuestra respuesta es

$$18 - (8) = 10$$

La fuerza se puede descomponer en dos fuerzas:

$$F_1=(\sin(x^2),-y)\,\quad F_2=(0,3x)$$

El trabajo, por lo tanto, se puede calcular en dos partes. El trabajo realizado por$F_2$es muy fácil.

Manejar$F_1$, tenga en cuenta que

$$\textrm{curl } F_1=0\;$$ Esta condición debería recordarte algo sobre el teorema de Green . De ello se deduce que se puede calcular el trabajo realizado por$F_1$usando la ruta del segmento de línea desde$O$a$B$, donde no tienes que preocuparte por el$\sin(x^2)$término más.

Para resumir,

$$\int_{O\to A\to B} F\cdot dr = \int_{O\to B}F_1\cdot dr+\int_{O\to A\to B} F_2\cdot dr.$$