Física de las arrugas: comprensión de la condición de inextensibilidad

Estoy leyendo este artículo muy interesante sobre la formación de arrugas en materiales elásticos. El resultado clave del artículo es un conjunto de leyes de escala para la amplitud y la longitud de onda de las arrugas basadas en las propiedades físicas del material, y una explicación de por qué las arrugas de una longitud de onda característica emergen del equilibrio de las energías de flexión y estiramiento.

Estoy tratando de seguir su derivación de estas leyes de escala a partir de la formulación de un funcional de energía. Puedo obtenerlo todo excepto la derivación física de un ingrediente clave: la condición de inextensibilidad (Ecuación 2 en su artículo).

Permítame plantear el problema: suponga que tiene una lámina elástica delgada de longitud$L$y ancho$W\ll L$. Ahora suponga que sujeta dos extremos y los somete a una fuerza de tensión a lo largo de su longitud (la$x$dirección). En una tensión crítica en el material, se desarrollarán arrugas a lo largo del$x$dirección. Parametrizar la altura de las arrugas como$\zeta(x,y)$y trabajo en el límite de la pequeña deformación$\zeta$(y pequeños derivados de$\zeta$). Uno puede escribir funcionales de energía de flexión y estiramiento dependientes de$\zeta$, y además la condición de frontera dada por la geometría del problema es la llamada condición de inextensibilidad, que los autores escriben como

donde recordar que el$y$la dirección es transversal a la tensión aplicada (y las arrugas), y$\Delta(x)$es el "desplazamiento transversal de compresión impuesto" en sus palabras. Me siento razonablemente seguro de que esto significa$\Delta(x)=W-W'$es decir, la diferencia entre$W$, el ancho relajado de la hoja, y$W'$, el ancho actual de la hoja después de aplicar la tensión (ignorando la formación de arrugas). NB: estoy bastante seguro de que hay un error tipográfico en los límites de integración en su documento, que he corregido aquí.

Mi pregunta:

¿Puede alguien explicarme físicamente la condición de inextensibilidad, describir cómo se aplica a este problema y demostrar por qué la formulación matemática anterior es correcta?

Sé que esta es una condición importante en muchas situaciones de la mecánica continua, así que me gustaría entenderla en general, así como en este contexto particular. Wikipedia no parece tener un buen artículo al respecto.

Mis pensamientos hasta ahora:

Mi interpretación física de la condición de inextensibilidad es que el ancho de la hoja en un punto dado debe conservarse en el proceso de arrugado, de modo que si mide la longitud del arco de la hoja en la dirección transversal a lo largo de todas las arrugas, debe obtener el mismo ancho que tendrías sin arrugas ($W'$en el párrafo anterior). Si escribo esa expresión matemáticamente, obtengo

Desde$W' = W-\Delta(x)$, puedo volver a escribir$W' = \int_0^W\left(1-\frac{\Delta(x)}{W}\right)dy$. Igualando los dos, simplificar para obtener

Lo cual difiere en un signo del resultado indicado. El signo que tienen allí es crucial, ya que la única forma en que mi integrando puede ser cero es si ambos componentes son trivialmente cero. Es posible que por definición$\Delta(x)<0$, pero esto parece una convención muy extraña, y no se respeta más adelante en el artículo.

Por lo tanto, debo creer que (1) cometí un error de señal (¡espero que no!), (2) la señal de$\Delta(x)$tiene una convención extraña, o (3) mi comprensión de la condición de inextensibilidad era incorrecta. ¡Agradecería cualquier ayuda que tengas!