Simulación de la evolución de un paquete de ondas a través de una red cristalina

Estoy interesado en simular la evolución de un paquete de ondas electrónicas a través de una red cristalina que no presenta una simetría traslacional perfecta. Específicamente, en el hamiltoniano a continuación, la frecuencia de cada sitio ω norte no es constante

Supongamos que la red está especificada por cierto hamiltoniano de unión estrecha

H = ∑ norte ω norte a norte † a norte + t ∑ < norte > a norte † a norte + 1 + todas las interacciones con el vecino más cercano + hc .
Preparamos un paquete de ondas y, por simplicidad, expresamos el paquete de ondas en la base fock de cada sitio de red
| ψ ⟩ = ∑ i | b 1 ⟩ | b 2 ⟩ … | b norte ⟩ .
Por lo tanto, hay b 1 electrones en el 1 st sitio de celosía. Por supuesto, los electrones son fermiones y b 1 podría ser cualquiera 0 o 1 .

Supongamos que tratamos este problema puramente mecánicamente cuántica. Entonces tendremos que preparar un vector de longitud 2 norte , que es computacionalmente intratable para cualquier norte .

Estoy interesado en las técnicas físicas que pueden emplearse para simplificar este problema. ¿Es posible intentar el problema de una manera semiclásica?

Nuestras preguntas frecuentes en realidad rechazan las preguntas computacionales. Con su permiso, migraré esto al nuevo sitio beta de Scientific Computation . Por supuesto, puede preguntar sobre la física aquí a pesar de que está planeando un ataque computacional, pero esto parece ser una cuestión de implementación. ¿O me he equivocado en tu intención?
Estoy más interesado en las técnicas físicas que se pueden usar para simplificar el problema y, por lo tanto, hacerlo computacionalmente viable. Como sabemos, las simulaciones mecánicas cuánticas en computadoras clásicas a menudo son intratables ya que los pasos computacionales requeridos aumentan exponencialmente con los grados de libertad en el sistema.
Al final del día, me gustaría pasar el tiempo numéricamente a través de alguna ecuación diferencial. ¡La pregunta es qué ecuación diferencial debo resolver!
Ah... gracias por la aclaración. Esto sin duda debe permanecer aquí.
@flamarchon Para el método exacto, usa el valor propio o la evolución directa, y no tiene la simetría en el hamiltoniano. El otro método debería ser sólo una aproximación. Si obtiene la respuesta, publíquela aquí.
@hwlau No estoy seguro de cómo emplear la aproximación semiclásica para modelar la dinámica de este sistema. ¿Tiene alguna sugerencia o alguna literatura que pueda señalarme? Gracias.
@flamarchon No, no lo sé, por eso te pregunto sobre eso. Si hay una simetría traslacional, podemos usar O ( 2 norte / norte ) en cambio. Por lo general, veo que la gente prefiere (probablemente mi sesgo) usar el método numérico exacto (no es este problema, en general quiero decir). Para su problema, probablemente podría haber una aproximación que no conozco.
Si realmente quieres saber la respuesta, puedo ofrecerte una pequeña recompensa.
@hwlau estoy simulando celosías con la cantidad de sitios de orden 10 3 . A preparando un espacio de orden de Hilbert O ( 2 norte ) sigue siendo demasiado grande.
@hwlau Ashcroft & Mermin tiene un capítulo sobre técnicas semiclásicas. Sin embargo, las ecuaciones presentadas se ocupan de la evolución de un paquete de ondas bajo campos externos, que no es exactamente mi problema. Tal vez sea posible tratar con diferentes w norte como un defecto usando la teoría de la perturbación? Se agradecería una pequeña recompensa. Gracias de antemano.
@flamarchon Estoy un poco interesado en ver si hay una técnica más general que pueda aprender.
¿Has pensado en usar algoritmos numéricos, como tDMRG , TEBD ?
@Tarek: ¿consideraría escribir una respuesta breve que describa el método y el beneficio?
@hwlau No soy un experto en ninguno de ellos. Para sistemas suficientemente pequeños, la evolución directa con un algoritmo simple de Runge Kutta de cuarto orden es suficiente. Esto equivale a utilizar una expansión de Taylor truncada del operador de evolución temporal. El hamiltoniano se representa como una matriz dispersa.

Respuestas (1)

Si usa un hamiltoniano de unión estrecha, es razonable comenzar no con la aproximación semiclásica, sino con la aproximación de una partícula. En ese caso, tiene una amplitud (número complejo) en cada sitio, el estado es un vector complejo de longitud norte , hamiltoniano es norte × norte (escasa) y el problema de la evolución temporal y/o los estados propios (para un estado de partícula) se puede resolver para redes relativamente grandes.

Si está interesado en la física de muchas partículas, puede construir un modelo sobre estos estados de una partícula. Los detalles dependen de qué es exactamente lo que desea calcular.

Desafortunadamente, no conozco una referencia con transferencia rigurosa de una formulación a otra.

Sí, normalmente no queremos obtener la función de onda exacta. Creo que la energía del estado fundamental generalmente se quiere calcular. ¿Tienes alguna idea de cómo hacer eso con alguna aproximación?
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