¿El operador de cantidad de movimiento es diagonal en la representación de posición?

Hay una forma heurística de ver esto.

La función delta de Dirac corresponde a un pico cuando su argumento es cero. Puede verlo como el límite de una secuencia de funciones gaussianas cuyas áreas son todas una pero cuyo ancho tiende a cero. La derivada de una función gaussiana se ve así:

Entonces, en el límite, la derivada de la función de Dirac es algo así como un pico ascendente infinitesimalmente a la izquierda del origen seguido de un pico descendente infinitesimalmente a la derecha. Entonces, los elementos de la matriz que está viendo no son en realidad diagonales, están infinitesimalmente fuera de la diagonal.

Este tipo de heurística puede ser útil, pero también puede ser peligrosa, así que no tome lo que digo demasiado literalmente.

Actualización: otra forma de ver esto es abordar el delta de Dirac derivado a través de una discretización. Si la función de onda se representa mediante un vector de muestras igualmente espaciadas, la derivada se puede representar mediante diferencias centrales. Asumiendo condiciones de frontera periódicas obtenemos una matriz como:

$\frac{1}{2}\pmatrix{ 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ & & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ }$

Tenemos 1 justo encima de la diagonal y -1 justo debajo. A medida que la discretización se vuelve más fina, obtenemos una matriz en la que las entradas están cada vez más concentradas cerca de la diagonal, aunque todos los términos distintos de cero están fuera de la diagonal. En el límite, puedes volver a imaginar algo que está infinitesimalmente fuera de la diagonal.

OP escribió (v1):

¿Esto implica que

$$\tag{1}\langle x | \hat{p} | x^{\prime} \rangle = 0$$ cuando sea$x \neq x^{\prime}$?

Para dos valores fijos de$x \neq x^{\prime}$, la respuesta es si $^1$. Pero no intentes integrar (1) sobre$x$o$x^{\prime}$, es decir, tratar$x$y$x^{\prime}$como parámetros de ejecución.

¿El operador de cantidad de movimiento es diagonal en la representación de posición?

No. Si los estados propios de la posición$(| x \rangle)_{x\in\mathbb{R}}$ambos diagonalizaron el operador de posición$\hat{x}$y el operador de cantidad de movimiento$\hat{p}$, esto implicaría, por ejemplo, que viajan, lo cual sabemos que no hacen, cf. la RCC .

Las aparentes paradojas anteriores tienen su origen en pensar erróneamente en una distribución , digamos$\delta(x)$, como una función de$\mathbb{R}$a$[0,\infty]$(que toma el valor$\infty$en el punto$x=0$). Esta es una imagen insuficiente. Las distribuciones deben entenderse como un límite adecuado de funciones ordinarias o definirse con la ayuda de funciones de prueba.

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$^1$Esto está relacionado con que la distribución$\delta^{\prime}(x)$solo tiene soporte en$x=0$.

Además de la respuesta de Qmechanic , esto es lo que sucede cuando integras más$x$con una función de prueba, que en realidad es lo que necesita hacer para que la expresión realmente tenga sentido. Así que usemos$f(x)$como una función de prueba$^1$e integrar:

$$-i \hbar \int dx \frac{\partial}{\partial x}f(x)\delta(x-x') = -i\hbar f'(x')$$

Entonces, en general, esto no es cero.

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$^1$Asumir$f$es diferenciable.

De Dirac, para valores propios continuos:

1) el operador unitario generalizado se define como$\delta(\xi'-\xi'')$(análogamente al caso discreto, donde$I = \delta_{ij}$).

2) Una representación de un operador hermitiano$\xi$Se dice que es diagonal cuando$\langle \xi' | \xi | \xi'' \rangle = \xi' \delta(\xi' - \xi'')$

3) La multiplicación de matrices generalizada se define por:

$$\langle\xi' | \alpha \beta | \xi'' \rangle = \int \langle \xi' | \alpha | \xi''' \rangle d \xi''' \langle \xi''' | \beta | \xi'' \rangle$$

4) Una matriz diagonal general se define como aquella que conmuta con la matriz generalizada del punto 2) (nuevamente de manera análoga con el caso discreto).

5) Aplicar este criterio de conmutabilidad a los elementos de la matriz generalizada de otro operador$\omega$, se encuentra que esta matriz es diagonal cuando:

$$(\xi' - \xi'') \langle \xi' | \omega | \xi'' \rangle = 0$$

Esta relación se cumple cuando:

$$\langle \xi' | \omega | \xi'' \rangle = c' \delta ( \xi' - \xi'')$$ por la definición básica de la $\delta$función, pero no es satisfecha por los elementos de la matriz de cantidad de movimiento. Por lo tanto, el impulso no es diagonal (lo cual ya sabías).