¿Qué operadores hermitianos pueden ser observables?

Podemos construir un operador hermitiano O de la siguiente forma general:

  1. encontrar un juego completo de proyectores PAGS λ que viajan,
  2. asignar a cada proyector un número real único λ ∈ R .

Por esto, cada proyector define un espacio propio del operador O , y los valores propios correspondientes son los números reales λ . En el caso particular en el que los valores propios no son degenerados, el operador O tiene la forma

O = ∑ λ λ | λ ⟩ ⟨ λ |

Pregunta: ¿Qué restricciones que impiden O de ser un observable se conocen?

Por ejemplo, no podemos admitir como observables los operadores hermitianos que tienen como estados propios superposiciones prohibidas por las reglas de superselección.

a) ¿Dónde puedo encontrar una lista exhaustiva de las reglas de superselección?

b) ¿Hay otras reglas?

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c) ¿Es especial desde este punto de vista el caso particular cuando el espacio de Hilbert es el producto tensorial de dos espacios de Hilbert (que representan dos sistemas cuánticos)?

Una regla de superselección es cuando ningún operador local puede enlazar entre dos estados. Es exactamente como cuando en mecánica estadística, tienes cero probabilidad de hacer un movimiento macroscópico. No hay una lista exhaustiva, ya que cualquier condensado de vacío que rompa una simetría exacta o haga un módulo SUSY es automáticamente un fabricante de sector de superselección.
Como observación (perdón por el juego de palabras), el operador de identidad es hermitiano con un valor propio degenerado de 1. Cada vector es un vector propio, y cualquier elegido podría incluirse en una base ortonormal. Entonces, sin las restricciones que está buscando, parecería que todos los estados serían observables (¿creo?)

Respuestas (2)

Creo que el objeto fundamental de la mecánica cuántica no es el espacio de Hilbert y sus operadores, sino el álgebra C* de observables. En esta imagen el espacio de Hilbert aparece como una representación del álgebra. Diferentes representaciones irreductibles son diferentes sectores de superselección. La respuesta a "qué operador es observable" es pues sencilla: los operadores observables son los que proceden del álgebra. De hecho, es mejor pensar en los observables como elementos autoadjuntos del álgebra en lugar de operadores.

Podrías preguntar de dónde sacamos el álgebra. Bueno, esto ya debería ser suministrado por el modelo en particular. Para una partícula mecánica cuántica que se mueve en una variedad METRO , el C*-álgebra consta de todos los operadores acotados en L 2 ( METRO ^ ) viajando con π 1 ( METRO ) dónde METRO ^ es la cubierta universal de METRO . Los sectores de superselección corresponden a representaciones irreductibles de π 1 ( METRO ) . Para QFT, el problema de construir el álgebra de observables en general está abierto, sin embargo, ciertos casos (como QFT libre y creo que también CFT racional) se resolvieron. Un enfoque que enfatiza el punto de vista del álgebra es el QFT axiomático de Haag-Kastler

Desde el punto de vista de la cuantización de la deformación, el álgebra observable cuántica es una deformación no conmutativa del álgebra de funciones continuas (digamos) en el espacio de fase clásico. Este punto de vista no es fundamental pero es útil. Por ejemplo, permite entender diferentes valores de espín y diferentes estadísticas cuánticas como sectores de superselección.

Sin reglas de superselección para restringir los observables, cualquier operador hermitiano es un observable admisible. El caso de múltiples sistemas idénticos es muy importante. En efecto, si los sistemas son realmente idénticos, sólo son admisibles los observables que sean simétricos bajo el intercambio de los sistemas. En tal caso, técnicamente hablando, solo debe considerar los observables que conmutan con todos los operadores de permutación posibles (es decir, con los elementos de la representación del grupo de permutación en el espacio de Hilbert de los sistemas).

Gracias por la respuesta. De hecho, para partículas idénticas se toma como espacio de Hilbert el cociente del producto tensorial por el ideal apropiado. ¿Conoce algunas referencias bibliográficas que muestren que las únicas restricciones para que un operador hermitiano sea observable son solo estas?
Puede imponer otras reglas de superselección, generalmente basadas en alguna simetría, no necesariamente la simetría de intercambio (que se aplica solo a sistemas de partículas múltiples). No puedo recomendar una referencia basada en mi conocimiento directo, pero diría que puede comenzar desde rmp.aps.org/abstract/RMP/v79/i2/p555_1
¿Qué operadores hermitianos pueden ser observables?
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