Todavía luchando por entender verdades vacías

Nunca he estado satisfecho con la definición de la implicación material en el contexto de la lógica proposicional únicamente. Las únicas cosas realmente importantes en el contexto de la lógica proposicional son que$T \Rightarrow T$es cierto y$T \Rightarrow F$Es falso. Se siente como los valores de verdad de$F \Rightarrow T$y$F \Rightarrow F$simplemente no están especificados por nuestra intuición acerca de la implicación. Después de todo, ¿por qué debería ser cierto "si el cielo es verde, entonces las nubes son rojas"?

Pero en la lógica de predicados, las cosas son diferentes. En la lógica de predicados, nos gustaría poder decir$\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))$y tener el$x$es por lo que$P(x)$es falsa no interfiere con la verdad del enunciado.

Por ejemplo, considere "entre todos los números enteros, todos los múltiplos de$4$son pares". Esa afirmación es verdadera a pesar de que$1$ni siquiera es (una instancia de$F \Rightarrow F$). También es cierto aunque$2$es par a pesar de no ser múltiplo de$4$(una instancia de$F \Rightarrow T$).

Pero ahora en la lógica clásica, cada proposición tiene un solo valor de verdad. Por lo tanto, la única forma de definir$\forall x R(x)$es "para cada$x$,$R(x)$es cierto". No podemos definirlo de otra manera, como "por cada$x$, cualquiera$R(x)$es cierto o$R(x)$es demasiado absurdo para tener un valor de verdad". Por lo tanto, estamos atascados definiendo$F \Rightarrow T$y$F \Rightarrow F$a ambos ser verdad, si$\forall x (P(x) \Rightarrow Q(x))$se va a comportar como queremos.

En un sistema diferente de lógica, podríamos hacer las cosas de manera diferente. Pero en la lógica clásica, "toda proposición tiene un valor de verdad" es básicamente un axioma.

Dado que queremos la$\rightarrow$Para capturar la idea de un enunciado 'si... entonces...', parece razonable insistir en que$P \rightarrow P$es una afirmación verdadera, pase lo que pase$P$es, y por lo tanto no importa qué valor de verdad$P$tiene.

Así que si$P$es falso, entonces obtenemos$\boxed{F \rightarrow F = T}$

Es igualmente razonable insistir en que$(P \land Q) \rightarrow P = T$, otra vez pase lo que pase$P$y$Q$son.

Así que si$P$es cierto, y$Q$es Falso, obtenemos:$(T \land F) \rightarrow T = \boxed{F \rightarrow T = T}$

Otras veces veo "Bueno, simplemente se define de esa manera porque es útil"... sin ejemplos de cómo es realmente útil

Bien, entonces demos un ejemplo de un caso de uso del mundo real. Soy programador informático de oficio, pero también me preocupa el metaproblema de cómo sabemos cuándo un programa es correcto . Es decir, uso el análisis estático para comprender los programas; "implica", tal como se define, es extremadamente útil en este análisis.

Supongamos que tengo una lista de ordersy una referencia a customer, y sé que si la referencia es válida, entonces la lista contiene al menos una orden :

if (customer != null)
{
  Assert(orders.Count() > 0);
  Print(orders.First());
}

"Afirmar" bloquea el programa si la condición es falsa.

Llamemos a un programa de computadora que falla un programa "F" ya uno que se ejecuta sin fallar un programa "T".

Ahora veamos la tabla de verdad de este pequeño fragmento de programa.

cust != null  orders.Count() > 0  Program classification
-----------------------------------------------------
True          True                 T -- because the assertion succeeds
True          False                F -- because the assertion crashes
False         True                 T -- because the assertion never runs at all
False         False                T -- because the assertion never runs at all

Ahora supongamos que tuviéramos un impliesoperador en este idioma. Nos gustaría poder reescribir nuestro programa como

Assert(customer != null  implies  orders.Count() > 0);
if (customer != null)
{
  Print(orders.First());
}

sin cambiar la categorización del programa. Para mantener el significado del programa, la tabla de verdad del operador binario A implies Bdebe ser la misma que (NOT A) OR B.

Es por eso que "implica" como se define es útil. Nos permite razonar con precisión y concisión sobre la corrección de los programas de computadora que contienen declaraciones condicionales .

Ahora, podría argumentar que "implica" es la palabra incorrecta para usar, porque "implica" está imbuido de algún significado que cree que no coincide con esta tabla de verdad. Pero eso es un hecho sobre tu intuición; no cambia el hecho de que este operador es útil tal como se define para razonar lógicamente sobre la corrección de los programas.

En este caso, probablemente sea una buena idea pensar en la implicación (clásica) como inclusión en el siguiente sentido:

$\varphi \Rightarrow \psi$se sostiene si el conjunto de testigos de$\varphi$es un subconjunto de los testigos de$\psi$.

Un ejemplo:

Si un número natural es un número primo mayor que$2$, entonces el número es impar.

Esto equivale a decir que el conjunto de primos mayores que$2$es un subconjunto de los números naturales impares.

El conjunto de testigos de$\textsf{false}$es el conjunto vacío$\emptyset$.

Como consecuencia,$\textsf{false} \Rightarrow \psi$es cierto si$\emptyset$es un subconjunto de los testigos de$\psi$. Y esto es, por supuesto, siempre el caso.

Primero, creo que la forma en que se define "implicación" es una convención: no puedo imaginar una prueba de que la implicación deba definirse de la manera que es. Supongo que se basa en la forma en que la gente piensa tradicionalmente sobre las declaraciones "si... entonces...".

Entonces, así es como lo pienso.

Supongamos que te digo,

Si llueve, te dejaré prestado un paraguas.

Ahora, si no llueve, ¿podría haberte mentido? Creo que la única forma en que mi declaración puede considerarse falsa es cuando llueve y no te doy mi paraguas. Y dado que las declaraciones lógicas siempre son verdaderas o falsas, cualquier declaración que no sea falsa debe ser verdadera (en este caso, "llueva y dé paraguas" y "no llueva, y [dar o no dar]").

Entonces, pienso en la verdad vacía como una especie de "verdad de abogado" (¡lo siento, todos ustedes, abogados!); nadie mintió técnicamente, así que estaremos de acuerdo en que dijeron la verdad.

De todos modos, todo el asunto de la "verdad vacía" es un poco discutible para mí personalmente, porque solo me ha importado realmente usar implicaciones cuando llega el momento de probar cosas, y esto requiere modus ponens ; una vez que sabemos$P$, y eso$P \implies Q$, lo sabemos$Q$también sostiene. Entonces, no encuentro mucho uso para$P \implies Q$declaraciones, cuando$P$no es cierto

También puede ser útil pensar en la falsedad de manera operativa: si un esquema de declaración es falso, hay una asignación de las variables en el esquema que proporciona un testimonio de la falsedad. Un ejemplo no proposicional en el universo de los números enteros es "$x = 5$", lo cual es falso como lo atestigua la asignación$x \mapsto 0$.

El esquema proposicional$X \implies Y$tiene las variables$X$y$Y$y aquéllos toman valores en el universo de las proposiciones. Así que veamos la relación de$X$a$Y$a través de los universos del discurso. Elijo presentar estas relaciones usando diagramas de Venn. En estos diagramas esquemáticos, los puntos representan universos, las regiones coloreadas contienen (todos los) puntos donde la proposición que etiqueta la región es verdadera. Primero cubrimos los casos no vacíos.

Aquí, cada universo en el que$P$es verdad tambien tiene$Q$es verdad. En consecuencia, no hay testigo de la falsedad de$P \implies Q$. Por lo tanto, si nos encontramos en un universo donde$P$es cierto, estamos en un universo donde$Q$es verdad.

Ahora un par de relaciones que podemos discutir simultáneamente.

En ambos hay universos en los que$P$es cierto y$Q$Es falso. (Habiendo encontrado un testigo, no hay necesidad de inspeccionar los otros universos, por ejemplo, donde$P$es falso y$Q$es verdad.) Cada uno de ellos es un testigo de la falsedad de$P \implies Q$, por lo que la implicación es falsa. Por lo tanto, si nos encontramos en un universo donde$P$es verdad,$Q$no tiene por qué ser cierto.

Finalmente, llegamos al tema de su pregunta, implicación con un antecedente vacuo.

$P$siempre es falsa, es decir, no hay universo en el que$P$es verdad. En consecuencia, no hay testigos de la falsedad de la implicación.$P \implies Q$. Por lo tanto,$P \implies Q$es verdad.

"Cada vez que me corté ambas manos con una cuchara de madera, de los muñones salieron cachorros esponjosos y pasé horas acariciándolos". Como nunca me he cortado las dos manos con una cuchara de madera, no hay testigo de falsedad y la sentencia es verdadera.

Observe que no dice absolutamente nada en absoluto en cuanto a lo que sucede cuando$p$Es falso. Si$p$Es falso,$q$puede ser cierto, puede ser falso, o puede afirmar que$1+1=3$, y, sin embargo, nada de esto falsea la implicación, ya que solo habla del caso particular cuando$p$es verdad. siempre y cuando$q$es cierto siempre que$p$es verdadera, la implicación es verdadera.

Ahora tenemos

Aquí, el antecedente,$F$, Es falso. Simplemente, por definición, falso es "no verdadero" y, por lo tanto, no importa lo que diga cuando "falso es verdadero", no es suficiente falsificar la implicación, porque falso nunca puede ser verdadero. Esto es decir "si lo falso fuera cierto,$q$sería verdadero", pero dado que lo falso nunca es verdadero, no importa lo que$q$es - su implicación es verdadera siempre que$q$es verdadero siempre que falso es verdadero .

Considere un ejemplo concreto. Dejar$p(x)$denotar "$x$es un primo par mayor que$2$", y$q(x)$denotar "$x\gt10$" sobre entero$x$.

Ahora, ¿cuál es el conjunto de números enteros que satisfacen$p(x)$? Sea este conjunto$S$. Claramente, el conjunto es el conjunto vacío,$S=\phi$. La implicación establece que lo siguiente debe ser cierto:$\forall x\in S, q(x)=T$. Por la implicación de ser verdad, cada$x$en$S$necesita satisfacer$q(x)$.

Aquí, no hay$x$tal que$x\in S$. Entonces, toda la condición en sí misma desaparece. La implicación es verdadera, independientemente del valor de verdad de$q(x)$en cualquier entero$x$, ya que ninguno pertenece a$S$.

Abordé esta pregunta en Philosophy Stack Exchange hace un tiempo. La esencia general de mi respuesta fue que definimos ⟹ de esta manera porque realmente era la única forma razonable de definirlo. Todos los demás significados que podría darle estaban completamente equivocados o podrían escribirse como un operador existente.

Usted llama a esta forma de pensar en su pregunta. Lo que demuestra mi respuesta es que no tiene sentido agregar las otras tres reetiquetaciones (FF, FT, TT) porque ya tenemos símbolos que tienen esas tablas de verdad exactas. Así, el argumento se convierte en que tener un símbolo para una operación en particular es más valioso que no tener el símbolo.

Lo que busca de esta pregunta es un argumento de que no hay otro significado posible para un símbolo, lo cual es una tontería. Es obvio que podría haber otros significados para ello. Podría optar por declararlo en el sentido de suma: 2 ⟹2 = 4. Son solo unas pocas líneas. Puedo hacer que signifiquen lo que yo quiera. Puedo hacer ⟹mal 2si realmente quiero. No encontrará un argumento que ⟹deba significar algo, porque no hay ninguna razón por la que tenga que significar algo en absoluto. Es pura convención.

El lugar donde esto se vuelve interesante es en el concepto de lenguaje natural "si X entonces Y", que normalmente se traduce como X⟹Y. El truco es que nosotros, como matemáticos, encontramos útil esa elección de simbología. Podríamos haber dicho que X⟹Yno produce un enunciado que tenga un valor de verdad. Entonces nunca podríamos escribir X⟹(Y⟹Z), que es donde las verdades vacías se vuelven interesantes. Si asumimos que ⟹es un operador binario que produce un valor de verdad, debemos definir la tabla de verdad para él. Y ahí va mi respuesta.

No hay nada de malo en decir "No creo que ⟹ deba producir un valor de verdad". Todo lo que hace es obligar a todos los demás que piensan que debería producir un valor de verdad a escribir ¬p∨qen todos los lugares donde escribieron previamente p⟹q, porque escribieron lo que tenían la intención de escribir.

También, quizás útil, puede ser el operador implica, ⊢. Es fascinante porque no es un operador en la lógica de predicados. Es un metaoperador. Su comportamiento no está definido en la lógica de predicados en absoluto. No tiene valor de verdad y, de hecho, el lado izquierdo del operador es un conjunto de declaraciones, que es un concepto que la lógica de predicados ni siquiera puede describir. Muestra lo que sucede cuando intenta definir un operador como algo fuera del sistema, en lugar de definirlo como algo dentro del sistema (es decir, equivalente a ¬p∨q). Leer sobre esa operación puede ayudarlo a ver por qué las personas eligieron definir las cosas de la manera en que lo hicieron.

He reproducido mi respuesta a continuación:

¿Por qué cuando A es falso y B es falso, inferimos que A->B es verdadero?

La respuesta corta es "porque tenemos que definir los operadores, y definimos ->para tener esa propiedad. Ha resultado conveniente. Como regla general, puede suponer que todos los operadores posibles se han explorado en algún momento, y qué nos queda es el conjunto que mejor funcionó.

Una cosa clave para recordar es que ->no es el operador "implica". Ese operador es ⊢, y tiene el significado al que estás acostumbrado en el inglés coloquial. ->es un concepto diferente.

Veamos algunos casos. Aquí hay una tabla de verdad que incluye el caso donde Aes Verdadero, porque todos estamos de acuerdo en cómo debería verse esa parte de la tabla:

A->B    B
       F T
     +----
 A F | ? ?
   T | F T

Obviamente tenemos cuatro posibles reemplazos para los signos de interrogación: T T T F F Ty F F. De estos, podemos rechazar dos de plano. Considera si usamos F To T F:

(a)A->B             (b)A->B
        B            B
       F T          F T
     +----         +----
 A F | F T     A F | T F
   T | F T       T | F T

Si el operador actuó como (a), entonces la tabla de verdad se vuelve simple. A->Bsería cierto simplemente si B. No tendría ningún valor escribir nunca A->Bcuando tendría exactamente el mismo significado que escribir B. La opción (b) también se puede descartar con bastante facilidad. Hay dos problemas con eso. Un problema importante es que ya tenemos un operador con esta tabla de verdad: A=B. La otra es que, en este caso, F->Fes cierto, ¡que es el problema que tuviste con el significado normal de ->en primer lugar!

Esto deja dos tablas de verdad para explorar

(c)A->B             (d)A->B
        B            B
       F T          F T
     +----         +----
 A F | T T     A F | F F
   T | F T       T | F T

La opción (c) es el significado aceptado de ->. La opción (d) no proporciona ningún valor porque ya tenemos un operador con esta tabla de verdad, el operador de conjunción A∧B.

Por lo tanto, de todos los operadores que tienen el comportamiento "cuerdo" cuando Aes verdadero, solo la solución aceptada, la opción (c), tiene algún valor como operador.

agregado por barlop
útil pregunta relacionada mencionada por
Mauro

Supongamos que sabemos que$A \implies B$es verdad. Parte de la semántica es que si$A$es cierto, entonces puedes concluir$B$es cierto también.

¿Qué pasa si estás en una situación en la que$A$¿Es falso? La implicación es vacía: ¡no debería poder aprender nada nuevo en esta situación!

Si tuvieras$(F \implies F) \equiv F$, entonces en una situación en la que$A$es falso, entonces puedes deducir que es imposible para$B$ser falso también, es decir, puedes concluir$B$debe ser cierto!

Del mismo modo, si tuvieras$(F \implies T) \equiv F$, entonces en una situación en la que$A$es falso, se puede deducir que$B$tiene que ser falso.

Establecer ambos valores de verdad en$T$es la única forma de que no pueda aprender ninguna información nueva al combinar el hecho de que$A \implies B$es cierto con el hecho de que$A$Es falso.

Permítanme demostrar esto con un ejemplo.

Primero, supongo que todos podemos estar de acuerdo en que la siguiente implicación es verdadera:

$x=2 \implies x+1 = 3$

Ahora, supongamos que quisiéramos resolver el siguiente problema:

Resuelve la ecuación$x + 5 = 10$

Podemos proceder de la siguiente manera:

$x=2$debe ser cierto, ya que esa es la única forma de$x=2 \implies x+1 = 3$a decir verdad.

Sin embargo,$x=2$no es una solución para$x+5 = 10$, por lo tanto$x+5 = 10$no tiene soluciones.

Para agregar a todas las excelentes respuestas, me gusta justificar el significado del símbolo para la implicación material.$P \Rightarrow Q$apelando a la afrenta personal. Cuando alguien dice "siempre voy al cine cuando llueve" (que se traduce como "si llueve entonces voy al cine"), ¿cómo debemos reaccionar dependiendo de los diversos estados de lluvia y visualización de películas? Ciertamente, la parte principal de esto es que deberíamos estar terriblemente enojados con la persona si está lloviendo pero no está en el cine.

Pero tu pregunta es sobre cuándo no llueve. Supongamos que la persona está en el cine. ¿Deberíamos estar enojados? Por supuesto que no. A quién le importa si ven una película cuando no está lloviendo, no están mintiendo al respecto. Supongamos que la persona no está en el cine. Una vez más, a quién le importa, ¿te están engañando al no estar en el cine, especialmente si no está lloviendo? Ese es el "¿Están mintiendo?" Prueba de semántica lógica.

Personalmente creo que es indiscutible que$F \Rightarrow F = T$, principalmente a través de la analogía con el uso en inglés, porque esa es a menudo una expectativa del mundo real, es decir, que si dice una dirección, también está sugiriendo la otra dirección.

esto deja$F \Rightarrow T$ser el más cuestionable para mí. En cierto sentido, podríamos decidir enojarnos con esto; tal vez queremos que la declaración sea simétrica. Creo que no sería irrazonable (en el sentido humanista) esperar simetría. Pero entonces el símbolo no sería tan útil porque podríamos derivar muchas otras cosas de él. Teniendo$F \Rightarrow T = T$simplemente hace que las cosas sean más fáciles de manipular lógicamente y produce pruebas más simples y coincide un poco mejor con nuestra intuición (no he respaldado por qué este es el caso, solo que la "experiencia ha demostrado" que es el caso. Como por qué o$0^0 = 1$, es una elección juiciosa que hace la vida más fácil más adelante (en la mayoría de las circunstancias).

Por esta razón, realmente es el caso que queremos que la tabla de verdad tenga el único valor de F para$T \Rightarrow F$.

(comparar con una tabla de verdad para 'o' =$\lor$de una forma similar.

Tenga en cuenta que, como insinúa, estamos creando deliberadamente un nuevo símbolo.$\rightarrow$con propiedades estrictas dadas, y crearlo para que sea útil. Por lo tanto, es posible que no coincida con la intuición cotidiana o el uso del patrón de lenguaje natural "Si P, entonces Q". Simplemente sucede que es el caso de los otros símbolos '$\land$' para 'y', y '$\lor$' por 'o', pero esas correspondencias son más fáciles de aceptar porque son mucho más cercanas (pero todavía matizadas de maneras que no esperas). De hecho, 'o' está en el fondo de las guerras de la filosofía matemática a principios del siglo XX.

Empecemos con tu ejemplo "3 = 5".

Si eso es cierto, podemos restar 3 de ambos lados y obtener "0 = 2", que también debe ser cierto. Divide ambos lados por dos y obtienes "0 = 1", que también debe ser cierto.

Ahora toma dos números x e y. 0·x = 0, y 0·y = 0, entonces 0·x = 0·y. Pero acabamos de mostrar que 0 = 1. Entonces 0·x = 1·x, y 0·y = 1·y, entonces 1·x = 1·y o x = y. Acabamos de demostrar que dos números cualesquiera x e y son iguales.

¿Sabías que ganamos exactamente la misma cantidad de dinero cada año? Obviamente, porque si escribes tus ingresos x y yo anoto mis ingresos y, acabamos de demostrar que x = y. También gano un millón más, porque si escribes x, que es tu ingreso más un millón, y yo escribo y, que es mi ingreso, entonces nuevamente x = y.

Creo que puede ver cómo puede probar cualquier cosa si solo toma "3 = 5" al pie de la letra, sin necesidad de pruebas sofisticadas, solo lógica ingenua y directa.

Estás citando la definición del símbolo.$\implies$. Dado que una definición establece el significado de un símbolo, no hay prueba de su corrección.

no entiendo porque$(F \implies F) \equiv T$y$(F \implies T) \equiv T$.

La respuesta puede no sentirse satisfactoria, sin embargo$(F \implies F) \equiv T$porque así se define. Si no le gusta, puede definir su propio símbolo con una definición que le resulte más razonable.

Entonces, ¿qué motiva a las personas a elegir esta definición sobre otras? Cuando define su propio símbolo, probablemente tenga una interpretación en su mente para definirlo de esa manera y no de otra manera. Si piensas en posibles interpretaciones para el tradicional$\implies$encontrará fácilmente interpretaciones que sugieran esta definición en particular. Este hilo menciona conjuntos, análisis estático de programas de computadora y lenguaje natural como posibles interpretaciones. Sin embargo, el lector es libre de elegir una interpretación de su agrado o ninguna. (Por ejemplo: la respuesta de Bram28 no delega a una interpretación). Nadie puede obligarlo a elegir la definición que coincida con su interpretación ni probarle que es la definición correcta. Y de hecho hay desacuerdo (sobre las interpretaciones) entre las respuestas:

Comparar

Después de todo, ¿por qué debería ser cierto "si el cielo es verde, entonces las nubes son rojas"?

y

Creo que la única forma en que mi declaración [Si llueve, te dejaré prestado un paraguas] puede considerarse falsa, es cuando llueve pero no te doy mi paraguas.

y

Esto se lee como "p implica q", y significa que "si p es verdadera, entonces q es verdadera". Observe que no dice absolutamente nada sobre lo que sucede cuando p es falsa.

La interpretación natural, que es "$(p \implies q)$" debe entenderse como "si p entonces q", parece ser la más controvertida. Ninguno parece estar en desacuerdo con la interpretación establecida.

En resumen, no hay manera de mostrar$(F \implies F) \equiv T$. Sólo hay interpretaciones motivadoras que sugieren definir una cosa de cierta manera.

Permítanme comenzar con el siguiente teorema:

Teorema. Si$1$es un número par, entonces todos los enteros positivos son pares.

Prueba. Inducción.

¿El teorema anterior es verdadero o falso?

Los teoremas en matemáticas suelen tener la forma$A\to B^{[1]}$. Entonces, ¿qué significa probar el teorema anterior? Escrito lógicamente, queremos$\vdash A\to B$, lo que significa$A\to B$puede demostrarse en la teoría. En la práctica, lo que hacemos es suponer$A$y luego probar$B$de$A$, es decir$A\vdash B$(esto es lo que hicimos cuando escribimos "inducción" arriba, estamos usando explícitamente la premisa "$1$es par" como base de la inducción). El teorema de deducción nos dice que$A\vdash B$implica$\vdash A\to B$. (El modus ponens demuestra lo contrario a este teorema.)

Cualquier sistema razonable solo debería probar teoremas verdaderos y ese es el caso del cálculo proposicional. Por lo tanto, el teorema anterior es cierto, aunque es de la forma$F\to F$.

la moraleja es que$A\to B$debería ser cierto si podemos proporcionar pruebas de$B$asumiendo$A$.

Pero, ¿realmente necesitamos teoremas como los anteriores? ¡La respuesta es sí! Bueno, está bien, es estúpido tener teoremas donde se sabe que la premisa es falsa, pero ¿y si no sabemos si es falsa o no? Aquí hay un teorema útil:

Teorema. Si$V$es un espacio vectorial$^{[2]}$, entonces$V$tiene una base

y que si$V$Qué es un módulo que no es un espacio vectorial? ¿El teorema de alguna manera se vuelve falso? No. En ese caso ni siquiera importa si la conclusión "$V$tiene una base" es verdadero o falso, la declaración en sí es verdadera, porque hay una prueba para ello$^{[3]}$. Sería ridículo que el teorema cambiara su validez en función de aquello a lo que intentáramos aplicarlo.

Echa un vistazo a otro ejemplo:

Teorema. Si la hipótesis de Riemann es verdadera, entonces [magia].

Es importante estudiar las consecuencias de la hipótesis de Riemann, o cualquier otra conjetura interesante, sea cierta o no. Si la hipótesis de Riemann resulta no ser cierta, entonces los teoremas de la forma anterior se volverán inútiles, pero no falsos.

TL;DR: Las matemáticas serían muy raras si$F\to F$y$F\to T$no seria verdad

$[1]$Esto está demasiado simplificado porque no hay cuantificación aquí, pero tengan paciencia conmigo.

$[2]$Agregue finito-dimensional si es necesario.

$[3]$A menos que ZFC sea inconsistente. Con suerte, no lo es.

Me gustó la interesante discusión en la página 4 del libro Advanced Calculus de Loomis y Sternberg, que citaré textualmente a continuación:

Llegamos ahora al problemático conectivo 'si..., entonces...', que escribimos como 'si P, entonces Q' o$P \implies Q$. Esto casi siempre se aplica en el contexto universalmente cuantificado.$(\forall x)(P(x) \implies Q(x))$, y su significado se desentraña mejor mediante un estudio de este uso. Consideramos que 'si x < 3, entonces x < 5' es una oración verdadera. Más exactamente, es cierto para todo x, por lo que la cuantificación universal$(\forall(x))(x < 3 \implies x < 5)$es una afirmación verdadera. Esta conclusión nos obliga a aceptar que, en particular,$2 < 3 \implies 2 < 5$,$4 < 3 \implies 4 < 5$, y$6 < 3 \implies 6 < 5$son todas afirmaciones verdaderas. La tabla de verdad para '$\implies$' por lo tanto contiene los valores ingresados ​​​​a continuación.

Por otro lado, consideramos '$x < 7 \implies x < 5$' para ser una oración falsa, y por lo tanto tienen que aceptar que '$6 < 7 \implies 6 < 5$' Es falso. Por lo tanto, la fila restante en la tabla anterior da el valor 'F' para$P \implies Q$.