¿Por qué es falsa esta parte de la proposición compuesta?

$\neg p\lor \neg q\equiv \neg p \vee \neg q \vee(\neg r \wedge \neg q) \\$

De hecho, una dirección de la equivalencia es trivial, para la otra dirección supongamos que$\neg p \lor \neg q \lor (\neg r \land \neg q)$es verdadera entonces debemos tener que al menos una de las disyuntivas es verdadera. Ahora supongamos que$(\neg r \land \neg q$) es cierto entonces inmediatamente tenemos que$\neg q$es cierto y así obtenemos$\neg p\lor \neg q$es verdad. Si la otra disyunción es verdadera entonces tenemos una trivialidad.

Primero, quiero señalar un error en su razonamiento. Tu dices:

Entiendo que

$$\begin{equation} \begin{aligned} &\equiv \mathbb{F} \vee(p \wedge q) \\ &\equiv(p \wedge q) \end{aligned} \end{equation}$$

entonces eso implica que

$$\begin{equation} (\neg \boldsymbol{r} \wedge \neg q) \end{equation}$$

Es falso.

No, eso no sigue. (y obviamente$\neg r \land \neg q$no es equivalente a$False$)

Considerar:$p \lor p \equiv p$... así que según tu lógica, tendríamos que tener eso$p \equiv False$?

Claramente algo está mal con tu lógica. En esencia, lo que estás haciendo es esto:

Sabemos que si$\psi \equiv False$, entonces$\phi \lor \psi \equiv \phi$. Pero lo contrario no es cierto: si$\phi \lor \psi \equiv \phi$, entonces$\psi \equiv False$. En efecto, estás cometiendo la falacia lógica de afirmar el consecuente.

Está bien, pero ¿por qué no se cumple lo contrario? Lo que sigue a continuación proporcionará más información.

Como principio útil general, tenga en cuenta que$p \lor (p \land q) \equiv p$:

$$p \lor (p \land q) \equiv p$$

$$\overset{Identity}{\equiv}$$

$$(p \land \top) \lor (p \land q)$$

$$\overset{Distribution}{\equiv}$$

$$p \land (\top \lor q)$$

$$\overset{Annihilation}{\equiv}$$

$$p \land \top$$

$$\overset{Identity}{\equiv}$$

$$p$$

Ese primer paso es un poco complicado, pero también puedes pensar en esto como:

$p + pq = p(1+q) = p1 = p$

Este principio es tan común, que tiene un nombre:

Absorción

$p + pq = p$

y su doble:$p(p+q) = p$

Entonces, si aplica Absorción a su declaración, obtiene:

$$\neg p \lor \neg q \lor (\neg r \land \neg q)$$

$$\overset{Absorption}{\equiv}$$

$$\neg p \vee \neg q$$

Sí, es así de fácil. ¡Así que asegúrese de incluir Absorción en su caja de herramientas de Álgebra Booleana!

Además, si observa lo que sucede en un K-Map, notará de inmediato por qué se llama Absorción: un término es 'absorbido' por el otro término: ¡es por eso que puede eliminarse!

Entonces, volviendo a tu error anterior:$p \lor p \equiv p$no porque$p \equiv False$, pero porque el segundo$p$ya está cubierta por la primera$p$. Dicho de otra manera: no es que el segundo$p$no está haciendo nada más que porque el segundo$p$término no está haciendo nada más allá del primer término.

Asimismo,$\neg q \lor (\neg r \land \neg q) \equiv \neg q$no porque$\neg r \land \neg q$no está haciendo nada, sino porque no está haciendo nada más allá$\neg q$por sí mismo: el$\neg q$'cubre', y por lo tanto 'absorbe' el$\neg r \land \neg q$término