Pruebas usando tautologías

"Alcanzar una verdad obvia" (como$p\to p$Ro$1=1$) es un método de prueba válido si los pasos utilizados para llegar a esta verdad obvia son transformadas de equivalencia. Es decir, si su argumento es como

$A_1$es equivalente a$A_2$, que es equivalente a$A_3$,$\ldots$, que es equivalente a$A_n$, que es una tautología

entonces has probado$A_1$. Sin embargo, debe tener cuidado de que ni un solo paso "es equivalente" resulte ser solo un paso "implica". Por otro lado, ni siquiera necesitamos la equivalencia, solo necesitamos una dirección: la inversa. Por lo tanto, a menudo es mejor escribir una prueba en la otra dirección:

Tenemos la tautología$A_n$. Esto implica$A_{n-1}$.$\ldots$Esto implica$A_3$. Esto implica$A_2$. Esto implica$A_1$, como se desee.

El de$A_1$a$A_n$El método puede ser el más adecuado para descubrir una prueba, pero "a partir de$A_n$a$A_1$" (que luego puede ser una prueba directa) es más adecuado para presentar una prueba (y al mismo tiempo para descubrir lagunas en la prueba porque se vuelve más fácil detectar pasos que no son equivalencias).

Cuando está explorando y descubriendo cómo probar una declaración, quiere explorar tratando de reducir la conclusión a una declaración de la hipótesis. De esa manera, puedes ver cómo la conclusión se relaciona con la hipótesis y, a partir de esa conexión, escribir tu prueba.

Sin embargo, cuando estás escribiendo tu prueba, siempre comienzas desde la hipótesis hasta la conclusión. Eso tiene sentido: no puede asumir su conclusión y probar la hipótesis porque eso es simplemente al revés. El$\epsilon-\delta$artículo que leyó de hecho tenía un razonamiento correcto de por qué el límite era verdadero y entendió el significado de la$\epsilon-\delta$límite, pero no tenía una prueba real. Simplemente mostró que la declaración era verdadera al mostrar la conexión entre la hipótesis y la conclusión. En realidad, no probó cómo la hipótesis implica la conclusión, por lo que no fue una prueba real. Sin embargo, dada esta conexión, podemos crear nuestra propia prueba directa:

Para cualquier$\epsilon > 0$. Podemos elegir$\delta=\frac \epsilon 3$tal que si$0 < \lvert x-5\rvert < \delta$, entonces$\lvert f(x)-3 \rvert < \epsilon$. Ahora probaremos esto directamente. Empezamos con nuestra hipótesis:

$$0 < \lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$$

Esto es en realidad una instrucción AND:$0 < \lvert x-5\rvert$y$\lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$. Sin embargo, realmente no necesitamos la primera declaración ya que$f(x)$todavía se define en$x=5$, así que podemos usar el segundo.

$$\lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$$

Multiplica ambos lados por$3$.

$$\lvert 3x-15\rvert < \epsilon$$

$3x-15=3x-3-12=f(x)-3$, así que sustituye:

$$\lvert f(x)-12\rvert < \epsilon$$

Así, hemos demostrado que$0 < \lvert x-5\rvert < \frac \epsilon 3$implica$\lvert f(x)-12\rvert < \epsilon$para todos$\epsilon > 0$, lo que significa que hemos probado el límite.

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Fíjate cómo usamos las mismas ecuaciones y razonamientos que en el artículo, pero lo escribimos al revés. Podemos hacer lo mismo con la demostración de la desigualdad :

Empezamos con una verdad evidente:

$$2 > 1$$

Desde$n$es positivo, podemos multiplicar ambos lados por$n$:

$$2n > n$$

Añadir ambos lados por$n^2$:

$$n^2+2n > n^2+n$$

Factoriza el lado izquierdo y multiplica el lado derecho por$1=\frac{n+2}{n+2}$:

$$n(n+2) > \frac{(n^2+n)(n+2)}{n+2}$$

Desde$n$es positivo, también lo es$n+2$, entonces podemos dividir ambos lados por$n+2$:

$$n > \frac{n^2+n}{n+2}$$

Multiplica el lado izquierdo por$1=\frac{n+1}{n+1}$y factorizamos el lado derecho:

$$\frac{n(n+1)}{n+1} > \frac{n(n+1)}{n+2}$$

Divide ambos lados por$n+1$:

$$\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$$

Así, hemos mostrado$\frac{n}{n+1} > \frac{n}{n+2}$usando enunciados obvios, la hipótesis de$n > 0$, y las leyes de manipulación de desigualdades, por lo que debe ser cierto.

Observe cómo tengo las mismas desigualdades que la primera prueba, pero están escritas en el orden opuesto y he agregado mi razonamiento entre cada paso. La primera prueba simplemente muestra que la declaración es verdadera al llevarnos a la conexión, pero la prueba anterior es una prueba real, rigurosa y directa.