¿Existe una forma sistemática de derivar ecuaciones de restricción?

Question

¿Existe una forma sistemática de derivar ecuaciones de restricción?

Anónimo

Hay este problema en la sección de derivaciones de Goldstein (Mecánica Clásica):

5. Dos ruedas de radio $a$ están montados en los extremos de un eje común de longitud $b$ tal que las ruedas giren independientemente. Toda la combinación rueda sin resbalar en un avión. Muestre que hay dos ecuaciones de restricción no holonómicas,

$\begin{aligned} porque θ d X + pecado θ d y & = 0 \\ pecado θ d X - porque θ d y & = \frac{1}{2} a (d ϕ + d ϕ^{'}), \end{aligned}$ $\begin{align} \cos\theta dx + \sin\theta dy &= 0 \\ \sin\theta dx - \cos\theta dy &= \frac{1}{2}a(d\phi + d\phi'), \end{align}$

(dónde $\theta$ , $\phi$ , y $\phi'$ tienen significados similares a los del problema de un solo disco vertical, y $(x,y)$ son las coordenadas de un punto en el eje a mitad de camino entre las dos ruedas) y una ecuación holonómica de restricción,

$θ = C - \frac{a}{b} (ϕ - ϕ^{'}),$ $\theta = C - \frac{a}{b}(\phi - \phi'),$

dónde $C$ es una constante

Y aquí está la imagen del problema con un solo disco vertical:

imagen del problema con el disco vertical

Ahora, creo que he derivado con éxito las ecuaciones para dos de esas restricciones, pero lo escribiré de todos modos, en caso de que mi razonamiento sea incorrecto o demasiado descuidado. (Uso las etiquetas $1$ y $2$ para las ruedas, en lugar de sin imprimar y con imprimación).

\dot{X} = v pecado θ

$\dot{x} = v \sin{\theta}$

\dot{y} = - v porque θ

$\dot{y} = -v \cos{\theta}$

⟹ porque θ d X + pecado θ d y = 0

$\implies \color{red}{\cos{\theta} \, dx + \sin{\theta} \, dy = 0}$ Y la segunda: Girando las ruedas sobre el punto medio

(x, y)

$(x,y)$ , el ángulo

θ

$\theta$ cambios tales que

d θ = \frac{2}{b} d yo

$d \theta = \frac{2}{b} \, dl$ dónde

d l

$dl$ es la longitud del arco barrido por ambas ruedas, satisfaciendo

d yo = v_{1} d t = - v_{2} d t

$dl = v_1 \, dt = - v_2 \, dt$ porque las ruedas giran con velocidades antiparalelas.

d yo = v_{1} d t = a \frac{d ϕ_{1}}{d t} d t = a d ϕ_{1}

$dl = v_1 \, dt = a \frac{d \phi_1}{dt} \, dt = a \, d\phi_1$

d yo = - v_{2} d t = - a \frac{d ϕ_{2}}{d t} d t = - a d ϕ_{2}

$dl = -v_2 \, dt = -a \frac{d \phi_2}{dt} \, dt = -a \, d\phi_2$

⟹ d θ = - \frac{a}{b} (d ϕ_{1} - d ϕ_{2}),

$\implies \color{red}{d\theta = -\frac{a}{b} (d \phi_1 - d \phi_2) },$ lo que implica la ecuación de restricción holonómica, con signos invertidos. (Supongo que solo elegí diferentes etiquetas, ¿verdad?)

como puedo conseguir el ultimo? No tengo mucha experiencia con este tipo de problemas, así que me preguntaba, ¿ hay una forma sistemática de abordarlos o siempre se trata simplemente de resolver el problema, con la esperanza de extraer las ecuaciones de restricción?

PD Mi pregunta fue editada por razones de política según las cuales no puedo hacer algunas preguntas, por lo que me gustaría decir que no quiero saber si mi razonamiento es correcto para la derivación de las dos primeras restricciones. :)

EDITAR, POR FAVOR LEA: Aunque respondí mi propia pregunta con respecto al problema específico mencionado aquí, si alguien proporciona una buena respuesta con respecto a una forma sistemática de derivar ecuaciones de restricción, aceptaré esa respuesta en su lugar.

david z

La primera de sus tres preguntas, y hasta cierto punto la segunda, están fuera de tema según nuestra política de tareas , pero en lugar de dejar la pregunta en espera, la edité para reducirla a la pregunta conceptual subyacente.

usuario20250

Estoy agradecido por su misericordia, mi señor, porque soy un simple mortal, no lo cuestionaré.

david z

jajaja ;-) en serio, puedes editar la pregunta más si quieres. Incluyendo revertir mi edición, si realmente no le gusta, pero creo que pondría en espera la versión original de la pregunta.

usuario20250

Exacto, ¿cuál es el punto?

basureroDoofus

@SchlomoSteinbergerstein: Parece que la pregunta principal que tiene no es "¿es correcta mi derivación?", sino que es la pregunta de aplicación más amplia "¿hay una forma sistemática de abordarlos o siempre se trata solo de atacar el problema, con la esperanza de para extraer las ecuaciones de restricción?", es decir, se pregunta si existe un procedimiento automatizable que se pueda aplicar a una amplia clase de problemas, no solo a este en particular. Si bien no sé la respuesta a eso, creo que tal vez podría poner en negrita la oración " ¿hay una manera sistemática ..." para que sea más prominente, o algo así?

basureroDoofus

@SchlomoSteinbergerstein: Las preguntas ampliamente aplicables como esa suelen gustar mucho aquí, y casi siempre se consideran sobre el tema, ya que tienen el potencial de ayudar a muchas personas.

usuario20250

Oh, al diablo con su política, ¿qué pasa con miles de otras preguntas similares a esta? También podría haber hecho mi pregunta implícitamente ... ¿por qué importa si lo digo explícitamente en aras de la claridad? Y quién puede decir que una respuesta a esta pregunta no sería ampliamente aplicable, muchas respuestas de este tipo me ayudaron mucho, incluso si no se trataban de un problema específico con el que estaba lidiando. ¿De verdad cree que ese tipo de política está mejorando la calidad del sitio web y ayudando a todos?

usuario20250

Además, pregunté "¿hay una forma sistemática...", pero solo quería que alguien confirmara mi razonamiento para la derivación anterior, también podría haber preguntado más adelante en los comentarios, ¿cuál sería la diferencia? Ustedes son demasiado pedantes, esto es contraproducente y, sinceramente, molesto, considerando el hecho de que mi pregunta es bastante decente en comparación con muchas otras preguntas que pasan la ira de los moderadores.

usuario20250

(Ahora déjalo y ve a moderar algo que valga la pena moderar).

Respuestas (1)

¿Existe una forma sistemática de derivar ecuaciones de restricción?

La primera de sus tres preguntas, y hasta cierto punto la segunda, están fuera de tema según nuestra política de tareas , pero en lugar de dejar la pregunta en espera, la edité para reducirla a la pregunta conceptual subyacente.
Estoy agradecido por su misericordia, mi señor, porque soy un simple mortal, no lo cuestionaré.
jajaja ;-) en serio, puedes editar la pregunta más si quieres. Incluyendo revertir mi edición, si realmente no le gusta, pero creo que pondría en espera la versión original de la pregunta.
@SchlomoSteinbergerstein: Parece que la pregunta principal que tiene no es "¿es correcta mi derivación?", sino que es la pregunta de aplicación más amplia "¿hay una forma sistemática de abordarlos o siempre se trata solo de atacar el problema, con la esperanza de para extraer las ecuaciones de restricción?", es decir, se pregunta si existe un procedimiento automatizable que se pueda aplicar a una amplia clase de problemas, no solo a este en particular. Si bien no sé la respuesta a eso, creo que tal vez podría poner en negrita la oración " ¿hay una manera sistemática ..." para que sea más prominente, o algo así?
@SchlomoSteinbergerstein: Las preguntas ampliamente aplicables como esa suelen gustar mucho aquí, y casi siempre se consideran sobre el tema, ya que tienen el potencial de ayudar a muchas personas.
Oh, al diablo con su política, ¿qué pasa con miles de otras preguntas similares a esta? También podría haber hecho mi pregunta implícitamente ... ¿por qué importa si lo digo explícitamente en aras de la claridad? Y quién puede decir que una respuesta a esta pregunta no sería ampliamente aplicable, muchas respuestas de este tipo me ayudaron mucho, incluso si no se trataban de un problema específico con el que estaba lidiando. ¿De verdad cree que ese tipo de política está mejorando la calidad del sitio web y ayudando a todos?
Además, pregunté "¿hay una forma sistemática...", pero solo quería que alguien confirmara mi razonamiento para la derivación anterior, también podría haber preguntado más adelante en los comentarios, ¿cuál sería la diferencia? Ustedes son demasiado pedantes, esto es contraproducente y, sinceramente, molesto, considerando el hecho de que mi pregunta es bastante decente en comparación con muchas otras preguntas que pasan la ira de los moderadores.
(Ahora déjalo y ve a moderar algo que valga la pena moderar).

usuario20250 · Answer 1

Entendido, encontré una manera mucho mejor de resolver este problema, lo que elimina mi deseo de confirmar mi razonamiento anterior y responde parcialmente a la pregunta que me forzó la política de los moderadores, que era solo una pregunta secundaria a lo principal que quería. para preguntar, es decir, para ayudarme a resolver este problema... Es por eso que esta respuesta puede parecer errada, pero no lo es. De todos modos, aquí está mi respuesta:

Los puntos de contacto de las ruedas con el $xy$ plano tienen estas coordenadas para la rueda inferior (1) y la superior (2) respectivamente:

(X_{1}, y_{1}) = (X - \frac{b}{2} porque θ, y - \frac{b}{2} pecado θ)

$(x_1,y_1) = \left(x-\frac{b}{2}\cos{\theta},\, y - \frac{b}{2}\sin{\theta}\right)$

(X_{2}, y_{2}) = (X + \frac{b}{2} porque θ, y + \frac{b}{2} pecado θ)

$(x_2,y_2) = \left(x+\frac{b}{2}\cos{\theta},\, y + \frac{b}{2}\sin{\theta}\right)$ Tomando los rendimientos derivados del tiempo:

(\dot{X_{1}}, \dot{y_{1}}) = (\dot{X} + \frac{b}{2} \dot{θ} pecado θ, y - \frac{b}{2} \dot{θ} porque θ)

$(\dot{x_1},\dot{y_1}) = \left(\dot{x}+\frac{b}{2}\dot{\theta}\sin{\theta}, \, y - \frac{b}{2}\dot{\theta}\cos{\theta}\right)$

(\dot{X_{2}}, \dot{y_{2}}) = (\dot{X} - \frac{b}{2} \dot{θ} pecado θ, y + \frac{b}{2} \dot{θ} porque θ)

$(\dot{x_2},\dot{y_2}) = \left(\dot{x}-\frac{b}{2}\dot{\theta}\sin{\theta}, \, y + \frac{b}{2}\dot{\theta}\cos{\theta}\right)$ Además, tenemos estas relaciones:

(\dot{X_{1}}, \dot{y_{1}}) = (v_{1} pecado θ, - v_{1} porque θ) = (a \dot{ϕ_{1}} pecado θ, - a \dot{ϕ_{1}} porque θ)

$(\dot{x_1},\dot{y_1}) = (v_1 \sin{\theta}, -v_1 \cos{\theta}) = (a \dot{\phi_1} \sin{\theta}, -a \dot{\phi_1} \cos{\theta})$

(\dot{X_{2}}, \dot{y_{2}}) = (v_{2} pecado θ, - v_{2} porque θ) = (a \dot{ϕ_{2}} pecado θ, - a \dot{ϕ_{2}} porque θ)

$(\dot{x_2},\dot{y_2}) = (v_2 \sin{\theta}, -v_2 \cos{\theta}) = (a \dot{\phi_2} \sin{\theta}, -a \dot{\phi_2} \cos{\theta})$ A partir de ahí, eliminando

d t

$dt$ y realizar manipulaciones algebraicas simples da:

d X = pecado θ (- \frac{b}{2} d θ + a d ϕ_{1})

$dx = \sin{\theta}\left(-\frac{b}{2} d\theta + a \, d\phi_1\right)$

d X = pecado θ (\frac{b}{2} d θ + a d ϕ_{2})

$dx = \sin{\theta}\left(\frac{b}{2} d\theta + a \, d\phi_2\right)$

d y = - porque θ (- \frac{b}{2} d θ + a d ϕ_{1})

$dy = -\cos{\theta}\left(-\frac{b}{2} d\theta + a \, d\phi_1\right)$

d y = - porque θ (\frac{b}{2} d θ + a d ϕ_{2})

$dy = -\cos{\theta}\left(\frac{b}{2} d\theta + a \, d\phi_2\right)$ Obtener las últimas tres ecuaciones de restricción es simplemente una cuestión de combinarlas, pero si alguien lo desea, puedo escribir el procedimiento explícitamente.

Bienvenido al mundo de la cinemática. Aquí parametrizas una coordenada de posición y tomas derivadas para llegar a las relaciones de velocidad y aceleración.
sí, a veces es fácil pasar por alto el método más obvio xD

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Juan Alexiou

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