Ejercicio lagrangiano de Goldstein

Question

Ejercicio lagrangiano de Goldstein

El gato de Schrödinger

Pregunta 14 del primer capítulo del libro de H.Goldstein "Mecánica clásica":

P: dos puntos de masa $m$ están unidos por una barra rígida ingrávida de longitud $l$ , cuyo centro está obligado a moverse en un círculo de radio $a$ . Exprese la energía cinética en términos de las coordenadas generalizadas.

Mi comprensión del problema me dice que el sistema sólo tiene $1$ grado de libertad, $\theta$ , ya que el centro de masa se mueve en un círculo de radio fijo en un plano fijo. Entonces debe haber solo una coordenada generalizada. Ahora bien, si considero que los vectores de posición de la $2$ las masas puntuales son $\vec r_1$ y $\vec r_2$ respectivamente, entonces las restricciones del sistema son

| {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1} | = yo

$\lvert\vec r_2-\vec r_1\rvert=l$

| \frac{{\vec{r}}_{2} + {\vec{r}}_{1}}{2} | = a

$\left\lvert\frac{\vec r_2+\vec r_1}{2}\right\rvert=a$

Pero no puedo encontrar la coordenada generalizada de aquí en adelante. ¿Puede decirme si tengo razón sobre los grados de libertad del sistema? ¿Y estoy en el camino correcto? ¿Cómo debo proceder?

Además, una cosa más es que no hay nada escrito si las masas giran alrededor de su centro de masa. ¿Tengo que hacer un caso especial para ello?

Sánya

hay 2 grados de libertad (según tengo entendido), yo mismo empezaría por parametrizar las posibles posiciones del centro de la varilla y luego las posibles posiciones de las masas vistas desde el centro de la varilla y progresar a partir de ahí.

lewis molinero

El problema no dice que el centro de la barra está obligado a moverse en un círculo constante

psicópata

Estoy de acuerdo con el comentario anterior. Hay dos grados de libertad. Primero, el movimiento circular de un círculo de radio a y segundo, la rotación de las masas alrededor de su centro de masa (como sugeriste).

lewis molinero

Continuación: velocidad, por lo tanto, dos coordenadas generalizadas. Las masas son puntos, por lo que no hay rotación.

garyp

La pregunta no establece explícitamente que la barra pueda girar libremente alrededor de su centro, pero creo que esa es la intención. También asumiría que todo el movimiento está en un plano. Creo que esta pregunta necesita un poco de redacción.

floris

A menos que se trate de un problema 2D (como supone @garyp), veo tres grados de libertad. Existe la rotación del centro de masa y dos posibles rotaciones de las dos masas alrededor del centro.

hebetudinoso

Su energía cinética debe expresarse como la suma de dos fuentes de energía: movimiento alrededor del círculo de radio

a

$a$ (que, por cierto, no es una función de

r_{1}

$\textbf{r}_1$ y

r_{2}

$\textbf{r}_2$ ), y la energía cinética rotacional de la barra giratoria de longitud

l

$l$ (es decir, de radio

\frac{l}{2}

$\frac{l}{2}$ ).

Respuestas (2)

Ejercicio lagrangiano de Goldstein

hay 2 grados de libertad (según tengo entendido), yo mismo empezaría por parametrizar las posibles posiciones del centro de la varilla y luego las posibles posiciones de las masas vistas desde el centro de la varilla y progresar a partir de ahí.
El problema no dice que el centro de la barra está obligado a moverse en un círculo constante
Estoy de acuerdo con el comentario anterior. Hay dos grados de libertad. Primero, el movimiento circular de un círculo de radio a y segundo, la rotación de las masas alrededor de su centro de masa (como sugeriste).
Continuación: velocidad, por lo tanto, dos coordenadas generalizadas. Las masas son puntos, por lo que no hay rotación.
La pregunta no establece explícitamente que la barra pueda girar libremente alrededor de su centro, pero creo que esa es la intención. También asumiría que todo el movimiento está en un plano. Creo que esta pregunta necesita un poco de redacción.
A menos que se trate de un problema 2D (como supone @garyp), veo tres grados de libertad. Existe la rotación del centro de masa y dos posibles rotaciones de las dos masas alrededor del centro.
Su energía cinética debe expresarse como la suma de dos fuentes de energía: movimiento alrededor del círculo de radio $a$ (que, por cierto, no es una función de $\textbf{r}_1$ y $\textbf{r}_2$ ), y la energía cinética rotacional de la barra giratoria de longitud $l$ (es decir, de radio $\frac{l}{2}$ ).

Marco Antonio Ridenti · Answer 1

Este problema, como la mayoría de los problemas de la "Mecánica clásica" de Goldstein, debe analizarse cuidadosamente. No son fáciles.

Dicho esto, quiero proponer una solución a este problema. La pregunta original era sobre el número de grados de libertad. Vamos a llegar allí y también escribiremos la expresión completa de la energía cinética.

Tenemos dos partículas. En tres dimensiones, sin restricciones, el número de grados de libertad es $n = 2\cdot 3=6$ . Podemos preguntar ahora cuántas restricciones hay. Antes de responder a esa pregunta, recordemos que cualquier sistema de dos partículas puede ser descrito por el vector del centro de masa $\mathbf{R}$ , y las posiciones relativas al centro de masa, que podemos llamar $\mathbf{r}'_{1}$ y $\mathbf{r}'_{2}$ . En el caso general, la energía cinética total viene dada por la energía cinética del centro de masa más la energía cinética de las partículas en relación con el centro de masa, es decir

T = T_{C METRO} + T_{1}^{'} + T_{2}^{'} = \frac{METRO}{2} {\dot{R}}^{2} + \frac{{metro}_{1}}{2} {\dot{r}}_{1}^{2} + \frac{{metro}_{2}}{2} {\dot{r}}_{2}^{2}

$T = T_{CM} + T'_{1} + T'_{2} = \frac{M}{2}\dot{\mathbf{R}}^2 + \frac{m_{1}}{2}\dot{\mathbf{r}}_{1}^2+\frac{m_{2}}{2}\dot{\mathbf{r}}_{2}^2$

La masa de las dos partículas es igual y el centro de la barra está obligado a moverse en un círculo. Por lo tanto, el centro de masa (CM) coincide con el centro de la barra y también está obligado a moverse en un círculo. El CM puede ser descrito por una sola variable, el ángulo $\Theta$ con respecto a un eje fijo - digamos $X$ - cuyo origen está fijado en el centro de la trayectoria circular. Si el CM está restringido a un movimiento circular, entonces es equivalente a decir que su trayectoria está restringida a un plano (-1 grado de libertad) en una trayectoria circular (-1 grado de libertad). Así que nos quedamos con $n = 6-2 = 4$ grados de libertad.

El $X, Y, Z$ Las coordenadas del centro de masa se pueden escribir fácilmente como

R = (a porque Θ, a pecado Θ, 0)

$\mathbf{R} = (a\cos\Theta, a\sin\Theta, 0)$ Derivándolo con respecto al tiempo nos da la velocidad

\dot{R} = (- a \dot{Θ} pecado Θ, a \dot{Θ} porque Θ, 0)

$\dot{\mathbf{R}} = (-a\dot{\Theta}\sin\Theta, a\dot{\Theta}\cos\Theta, 0)$ Ahora podemos calcular ahora la energía cinética del centro de masa

T_{C METRO} = \frac{METRO}{2} (\dot{X^{2}} + \dot{Y^{2}} + \dot{Z^{2}}) = \frac{METRO}{2} R^{2} {\dot{Θ}}^{2} .

$T_{CM} = \frac{M}{2} (\dot{\mathbf{X}^2}+\dot{\mathbf{Y}^2}+\dot{\mathbf{Z}^2}) = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2}\,\, .$

Analicemos ahora el movimiento de las partículas con respecto al CM. El enunciado de la pregunta no restringe las partículas a un movimiento plano, por lo que debemos considerar la barra que las conecta para moverse en un espacio 3D. La restricción elimina un grado más de libertad, por lo que nos queda $n=4-1=3$ . A menos que se restrinja aún más el movimiento de la barra a un plano, el sistema tiene exactamente $n=3$ grados de libertad. Eso responde a tu pregunta, pero ahora calculemos la energía cinética.

El movimiento de las partículas con respecto al CM puede describirse mediante coordenadas esféricas referidas a un marco cuyo origen está centrado en el CM. Así que vamos a definir un $x',y',z'$ marco cuyo origen está en el CM y la orientación es igual a la definida anteriormente $X,Y,Z$ marco. las posiciones $\mathbf{r}'_{1}$ y $\mathbf{r}'_{2}$ puede escribirse como

r_{1, 2}^{'} = (\frac{yo}{2} pecado θ_{1, 2} porque ϕ_{1, 2}, \frac{yo}{2} pecado θ_{1, 2} pecado ϕ_{1, 2}, \frac{yo}{2} porque θ_{1, 2} porque ϕ_{1, 2})

$\mathbf{r}'_{1,2} = (\frac{l}{2}\sin\theta_{1,2}\cos\phi_{1,2}, \frac{l}{2}\sin\theta_{1,2}\sin\phi_{1,2}, \frac{l}{2}\cos\theta_{1,2}\cos\phi_{1,2})$
En esta expresión ya hemos considerado que el radio de la trayectoria es fijo y viene dado por

l / 2

$l/2$ . los angulos

θ_{1}

$\theta_{1}$ y

θ_{2}

$\theta_{2}$ , así como

ϕ_{1}

$\phi_{1}$ y

ϕ_{2}

$\phi_{2}$ , están relacionados por una fase, y no cambia el valor de la energía cinética. De hecho, si las masas son iguales y están obligadas a moverse con la misma magnitud de velocidad angular y rapidez, entonces sus energías cinéticas son iguales. Así que calcularemos la energía cinética de una partícula y la multiplicaremos por dos. Ahora usaremos los ángulos

θ_{1}

$\theta_{1}$ y

ϕ_{1}

$\phi_{1}$ , computar

T_{1}^{'}

$T'_{1}$ , quitando los subíndices de ellos.

T_{1}^{'} = \frac{metro}{2} (\dot{X_{1}^{' 2}} + \dot{y_{1}^{' 2}} + \dot{z_{1}^{' 2}}) = \frac{metro}{2} \frac{{yo}^{2}}{4} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ϕ}}^{2} pecado θ)

$T'_{1} = \frac{m}{2} (\dot{\mathbf{x}_{1}'^2}+\dot{\mathbf{y}_{1}'^2}+\dot{\mathbf{z}_{1}'^2}) = \frac{m}{2}\frac{l^2}{4}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$

Finalmente podemos escribir la energía cinética total:

T = T_{C METRO} + T_{1}^{'} + T_{2}^{'} = \frac{METRO}{2} R^{2} {\dot{Θ}}^{2} + metro \frac{{yo}^{2}}{4} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ϕ}}^{2} pecado θ)

$T = T_{CM} + T'_{1} + T'_{2} = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2} + m\frac{l^2}{4}(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$

Usando la definición de masa reducida, es decir , $\mu=m^2/2m = m/2$ , la energía cinética se puede escribir como

T = \frac{METRO}{2} R^{2} {\dot{Θ}}^{2} + \frac{m}{2} {yo}^{2} ({\dot{θ}}^{2} + {\dot{ϕ}}^{2} pecado θ)

$T = \frac{M}{2} R^{2}\dot\Theta^{2} + \frac{\mu}{2} l^2(\dot\theta^2 + \dot\phi^2\sin\theta)$ El problema tiene tres grados de libertad y las coordenadas generalizadas utilizadas para resolver este problema son

Θ, θ

$\Theta, \theta$ y

ϕ

$\phi$ , como se define en nuestra solución.

psicópata · Answer 2

Creo que el manuscrito adjunto es la respuesta a su pregunta...

Ejercicio lagrangiano de Goldstein

El gato de Schrödinger

Sánya

lewis molinero

psicópata

lewis molinero

garyp

floris

hebetudinoso

Respuestas (2)

Marco Antonio Ridenti

psicópata

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