¿Pueden los multiplicadores de Lagrange depender de las coordenadas?

Cuando se trata de multiplicadores de Lagrange para resolver sistemas con restricciones, generalmente tenemos dos formas si las restricciones son holonómicas:

• Derive la restricción y agregue el término apropiado a las EOM de Euler-Lagrange:

  $$g_j(q_i,t) \rightarrow d g_j= \frac{\partial g_j}{\partial q_i}dq_i + \frac{\partial g_j}{\partial t}$$ luego la MOE decía: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum_j\lambda_j\frac{\partial g_j}{\partial q_i},\quad \forall i$$

• O agregue la restricción al Lagrangiano y trate los multiplicadores$\lambda_j$como nuevas coordenadas:

  $$L'(q_i,\dot{q}_i,t;\lambda_j) = L(q_i,\dot{q}_i,t) + \sum_j \lambda_j g_j(q_i,t)$$ y obtendríamos las mismas ecuaciones. (Véase, por ejemplo, el Capítulo 2 de David Tong sobre Dinámica clásica )

Pero por la segunda vía, parece implicar que los multiplicadores$\lambda_j$no dependan de las coordenadas generalizadas, sino por ejemplo del péndulo simple:

$$L = \frac{1}{2}m (\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + mgr(1-\cos(\phi))$$ con la restricción $g= r-l$, si resolvemos para $\lambda$podemos llegar a la siguiente expresión: $$\lambda = -ml\dot{\phi} -mg(1-\cos(\phi))$$ y que también es la fuerza de reacción, ya que la fuerza de reacción se escribe $Q_i = \sum_j \lambda_j\frac{\partial g_j}{\partial q_i}$(Ver Mecánica Clásica: Sistemas de Partículas y Dinámica Hamiltoniana Walter Greiner, Cap. 16)

Entonces, ¿podemos decir que los multiplicadores$\lambda_j$¿Dependerán de las coordenadas y sus velocidades y pueden ser sus aceleraciones? ¿No contradiría esto la segunda manera de hacer las derivaciones?