Todas las fuerzas centrales son fuerzas conservativas, pero ¿todas las fuerzas conservativas son fuerzas centrales?

Me acaban de presentar el concepto de fuerzas centrales y el hecho de que, por definición, son fuerzas conservativas . He buscado varios ejemplos de fuerzas centrales (gravedad, eléctricas y de resorte), pero cubren casi todas las fuerzas conservativas de las que he oído hablar. ¿Existen fuerzas conservadoras que no sean centrales?

Debe haberlo, porque de lo contrario no tendría ningún sentido tener una subcategoría para las fuerzas centrales, pero no puedo encontrar ningún ejemplo en ninguna parte.

Debe tener cuidado con la frase "por/por definición". En inglés coloquial, generalmente usamos esta frase para decir "se sigue lógicamente de la definición", pero en matemáticas este uso no es útil porque, literalmente, todo "se sigue lógicamente de la(s) definición(es)". Entonces, en matemáticas y física, generalmente usamos esa frase para decir "es una parte necesaria de la definición". Bajo este uso, las fuerzas centrales (esféricamente simétricas) son conservativas, pero no son conservativas "por definición".
@tparker, en matemáticas se debe distinguir entre "por definición/axioma" y "por teorema". Aunque todo se deduce del conjunto básico de axiomas, los teoremas no se configuran como verdaderos intencionalmente. En las ciencias naturales, sin embargo, la frase tiene una importancia aún mayor y un sentido diferente, ya que hay postulados y observaciones que distinguir.

Respuestas (4)

Si ϕ = − X y , y F = − ∇ ϕ = y i ^ + X j ^ es conservador pero no central

Una fuerza constante es conservativa pero no central.

Por ejemplo: F → = F X ^

Puedes comprobar que el rotacional de esta fuerza es 0 , por lo tanto es conservativo. Su función de energía potencial en el espacio 3D sería simplemente V ( X , y , z ) = − F X + V 0 , dónde V 0 es un valor constante.

Un ejemplo de esto es la aproximación de la gravedad cerca de la superficie terrestre. En este régimen se supone que la fuerza es constante y obtenemos la misma forma que arriba para la energía potencial. Por supuesto, la gravedad en escalas más grandes es una fuerza central para, digamos, planetas en órbita alrededor de una estrella central, razón por la cual di la forma general primero.

Otro ejemplo de una fuerza conservativa no central es una que es una superposición (suma) de dos fuerzas centrales.

Sin embargo, este es un límite de fuerzas centrales donde el centro va al infinito, por lo que está en el cierre del conjunto de no ejemplos :)
Si el OP "acaba de conocer el concepto de Fuerzas centrales", entonces probablemente no sepan qué es el rizo.
@RyanThorngren solo porque una fuerza constante es el límite de una fuerza central donde el centro está en el infinito no significa que una fuerza constante no sea un ejemplo. Puede tener una fuerza constante real que no sea este límite.
@tparker He publicado respuestas en niveles más simples cuando el OP está en un nivel más simple y obtuve respuestas sólidas de otros aquí que debo entrar en más detalles cuando sea posible. También muestro que existe una función de energía potencial para alguien que no conoce el rotacional de un campo vectorial.
Ejemplo de @tparker en los comentarios de la pregunta physics.stackexchange.com/questions/419626/…

La respuesta de Paul es genial. Pero acabo de descubrir un error en la información de fondo que mencionaste: las fuerzas centrales no son necesariamente fuerzas conservativas. Lo escribo para que pueda tener una comprensión más clara de la relación lógica entre una fuerza 'central' y una fuerza 'conservadora'.
Por ejemplo podemos tomar

F → = X ⋅ r ^
y con un poco de calculo tenemos
∂ F y ∂ X − ∂ F X ∂ y = y 3 + y z 2 ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 − − y X 2 ( X 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 = y r ≠ 0
Ya que ese es el z ^ término en ∇ × F → , podemos decir que el rotacional no es cero, por lo que la fuerza no es conservativa.
Para que una fuerza central sea conservativa, también debe ser esféricamente simétrica, es decir, su magnitud debe ser una función de la distancia r solo. Con eso podemos expresar F como el gradiente de algún escalar T
F → = F ( r ) ⋅ r ^ = ∇ T
siendo T la integración indefinida de F ( r )
T = ∫ F ( r )
Dado que el rotacional de un gradiente siempre es cero, eso nos da ∇ × F → = 0 , la prueba de F siendo conservadores estamos buscando.

El potencial total de cualquier distribución de fuentes de un potencial conservador es en sí mismo conservador, pero no necesariamente central.

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