¿Todas las fuerzas centrales son conservativas?

Depende de lo que entiendas por 'fuerza central'.

Si tu fuerza central es de la forma${\vec F} = f(r){\hat r}$(la fuerza apunta radialmente hacia adentro/afuera y su magnitud depende solo de la distancia desde el centro), entonces es fácil demostrar que$\phi = - \int dr f(r)$es un campo potencial para la fuerza y ​​genera la fuerza. Esto es generalmente lo que veo que la gente quiere decir cuando dice "fuerza central".

Sin embargo, si solo quiere decir que la fuerza apunta radialmente hacia adentro/hacia afuera, pero puede depender de las otras coordenadas, entonces tiene${\vec F} = f(r,\theta,\phi){\hat r}$, y tendrá problemas para encontrar el potencial, porque necesita$f = - \frac{\partial V}{\partial r}$, pero también necesitarás tener$\frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{\partial V}{\partial \phi} = 0$matar los componentes no radiales, y esto conducirá a contradicciones.

Es lógico que un campo de esta forma no sea conservativo, porque si la fuerza es mayor en$\theta = 0$de lo que es en$\theta = \pi/2$, entonces puede hacer un trabajo neto alrededor de una curva cerrada moviéndose hacia afuera desde$r_{1}$a$r_{2}$a$\theta = 0$(trabajo positivo), luego quedarse en$r_{2}$constante, pasando de$\theta =0$a$\theta = \pi/2$(trabajo cero - fuerza radial), volviendo a$r_{1}$(menos trabajo que el primer paso), y volviendo a$\theta = 0$(cero trabajo).

Toma rotacional en coordenadas polares esféricas de una fuerza central, verás que como no hay componente de la fuerza en la$\theta$y$\phi$dirección y$f(r)$no depende de$\theta$y$\phi$, por lo que el rotacional de la fuerza central es cero. Por lo tanto, las fuerzas centrales pueden representarse como gradientes de algún escalar, es decir, las fuerzas centrales son conservativas.