Diferenciación de un vector con respecto a un vector

Bueno, un buen ejemplo es pensar en términos de componentes. En varias áreas de la física, las matemáticas se vuelven más intuitivas cuando piensas en términos de componentes de los vectores. Entonces, en lugar de escribir el vector$\mathbf r$para la posición de una partícula, se escribe$x^i$como el$i$-ésima componente de un vector. El$i$en la parte superior es para indicar un vector contravariante, en lugar de la$i$-ésima componente de un vector covariante:$x_i$. En geometría euclidiana, esas diferencias son irrelevantes, así que olvidémoslas. Por lo tanto, voy a usar índices siempre más bajos.

Digamos que tienes una función escalar$\phi$, dependiendo de la posición:$\phi(\mathbf r(t))$. En notación de componentes:$\phi(x_i(t))$. Su derivada temporal:

$$\frac{d\phi}{dt} = \sum_i \frac{\partial\phi}{\partial x_i} \frac{d x_i}{dt}.$$

Entonces, transformándolo a notación vectorial, ¿cómo se escribiría esto? Sí... Usando la división de vectores... ya que$x_i$representa componente de un vector:

$$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d \phi}{d \mathbf r} \frac{d\mathbf r}{dt}.$$

Ahora es una regla de la cadena simple. En este pequeño ejemplo, la derivada de la función escalar con respecto a un vector, sería lo que llamas gradiente:

$$\frac{d \phi}{d \mathbf r} = \nabla\phi \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\phi}{dt} = \nabla\phi\cdot\frac{d\mathbf r}{dt}.$$

De manera similar, en lugar de un campo escalar, si fuera un campo vectorial$\mathbf E = \mathbf E(\mathbf r(t))$, digamos, un campo eléctrico. Podemos usar la notación de componentes:$E_i = E_i(x_k(t))$. Entonces, la derivada del tiempo:

$$\frac{dE_i}{dt} = \sum_k \frac{\partial E_i}{\partial x_k} \frac{d x_k}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\mathbf E}{dt} = \frac{d\mathbf E}{d\mathbf r} \frac{d\mathbf r}{dt}$$

Ese es un poco más complicado, pero la notación de componentes lo deja claro: tiene dos rangos en lugar de uno. ¡Sí, una matriz! Llamémoslo matriz$J$, y escríbalo en notación de componente$J_{ik}$:

$$J_{ik} = \frac{\partial E_i}{\partial x_k} = \left(\frac{d\mathbf E}{d\mathbf r}\right)_{ik}$$

Esa matriz se llama matriz jacobiana. Entonces, tiene sentido "diferenciar" por vectores, si observa la notación de componentes.

En aras de la curiosidad: la derivada de segundo orden del campo escalar daría un objeto de segundo rango, o una matriz, llamada Hessian Matrix. La derivada de segundo orden del campo vectorial daría lugar a objetos de tercer orden. El$n$La generalización de rangos se llama tensor . Y cuando el espacio no es euclidiano, se puede construir un$r$-contravariante de rango y$s$-tensor covariante de rango, o un$(r,s)$-tensor de rango.