¿Por qué el vector unitario se representa como una derivada parcial en GR?

En general, una variedad M (que es el espacio topológico que describe matemáticamente el espacio-tiempo) no es un espacio vectorial; no admite la estructura lineal y es que una variedad se define como una unión de parches que contienen mapeos desde la variedad hasta un punto en el espacio$R^n$(también las coordenadas están dadas por mapeos de proyección a cada uno de los$R^n$"hachas", pero no consideremos esto aquí).

Ahora, on define un pensamiento llamado vector tangente de dos formas equivalentes (como se puede mostrar):

1. O bien como un conjunto de curvas equivalentes que pasan de un elemento de la variedad M. Para ello consideramos la recta real$R$y definimos una aplicación de la recta a la variedad- decimos que un vector tangente es una clase de curvas equivalentes con relación equivalente el hecho de que son tangentes porque en general hay muchas curvas que pasan desde el punto en la variedad. Tenga en cuenta también que la curva se define como el mapa en sí mismo y no el valor (imagen) que toma en la variedad: es el proceso.
2. O bien como una derivación, es decir, como un mapa de las funciones en M a los números reales, con las propiedades $$u(f+g)=uf+ug, f,g \in F(M),$$ tu la derivacion $$u(rf)=ru(f), r\in R$$ $$u(fg)=u(f)g+fu(g)$$ , satisface la propiedad de Leibniz.

Finalmente también definimos el espacio tangente como el conjunto de todos los vectores tangentes y se puede demostrar que este es un espacio vectorial (la suma de dos vectores tangentes en un punto da un tercero en el mismo punto). En la segunda perspectiva alternativa, el espacio de derivaciones se puede definir como un espacio vectorial.

Ahora viene la parte importante: se puede pensar en una derivada direccional sobre M como la derivada habitual de la función que define la curva que define el vector tangente. Entonces, una "derivada direccional" es

Pero también, uno puede definir una "derivada parcial" pensando en la definición de derivación y los mapas de proyección$\phi^{\mu}$de los mapas que definen la variedad a partir de gráficos$(U,\phi)$:

Finalmente, un campo vectorial se define como una asignación de vector tangente a todo punto en M y también lleva una estructura de espacio vectorial. El hecho de que pueda demostrarse que el espacio de todos los campos vectoriales Vfld tiene la estructura si un álgebra de Lie puede relacionarse con la noción de que un campo vectorial puede considerarse como un generador de transformaciones infinitesimales en la variedad, de la dimensión infinita grupo de difeomorfismos, pero aquí hay muchas sutilezas matemáticas irrelevantes para una primera lectura.

• Un buen texto introductorio del que he leído la mayor parte de lo anterior es Geometría diferencial moderna para físicos de CJ Isham.
• Además, otra referencia es de Bernard Schutz: Métodos geométricos de física diferencial.
• y variedades diferenciales y física teórica, por WDCurtis y FRMiller

Nos gustaría decir que un vector tangente (unitario) es una dirección en una variedad. Pero solo podemos definir y distinguir direcciones porque debe haber algo diferente en los diferentes puntos de la variedad, es decir, tenemos una función de "prueba" no constante. Entonces, el vector es la dirección en la que diferenciamos las funciones definidas en la variedad. De ahí la notación de derivada parcial.