Tiempo adecuado de vuelo La métrica de Schwarzschild es finita

Tampoco sé muy bien cómo esto es "fácil de ver" a partir de eso.
Sin embargo, puedes resolver la integral para el tiempo propio si primero observas que para$C^2=\text{const.}$tenemos (con$r_s = 2GM$)

que se deriva de enchufar$(4.2)$en$(4.1)$y considerando una partícula que cae y que está en reposo en$r = r_0$, significado$\dot{r}\vert_{r=r_0} = 0$.
Esto lo puedes usar para escribir tu primera ecuación como

A partir de esto, la integral de tiempo adecuada resultará ser

que puedes resolver usando Mathematica o también introduciendo la parametrización

con$\eta \in [0,\pi]$.

el resultado que obtengo es absurdo, dando un tiempo propio complejo.

Su resultado tiene Ien él, que supongo que es la notación de Mathematica para$i=\sqrt{-1}$, pero eso no significa que el resultado sea complejo. Es común con ciertas técnicas de integración obtener resultados que parecen complejos pero que en realidad resultan ser reales cuando los evalúas.

Está complicando innecesariamente sus resultados al tomar$G$y$M$como parámetros. Al hacer este tipo de integral, lo que hay que hacer es convertir tantas variables como sea posible en cantidades sin unidades, lo que generalmente tiene el efecto de eliminar constantes innecesarias como estas. Aquí quieres cambiar a la variable$x=r/2GM$. No lo introduzca simplemente en el Sistema de álgebra computacional (CAS) sin hacer esta preparación. Los CAS son estúpidos y producen resultados complicados, así que dale una oportunidad haciendo la misma configuración que harías normalmente si trabajas sin un CAS.

Uso los máximos CAS de código abierto, en lugar de mathematica. No tiene ningún problema en producir un resultado sin explícito$i$está en eso.

$ maxima -q --batch-string="assume(h>0 and (c^2-1)<0 and c>0); integrate(-(c^2-(1-1/x))^(-1/2),x,1+h,1);"

(%i1) assume(h > 0 and c^2-1 < 0 and c > 0)
                                     2
(%o1)                       [h > 0, c  < 1, c > 0]
(%i2) integrate(-(c^2-(1-1/r))^((-1)/2),r,1+h,1)
                                   2                     2           2
                 2       sqrt(1 - c ) sqrt(h + 1) sqrt((c  - 1) h + c )
(%o2) (sqrt(1 - c ) atan(----------------------------------------------)
                                        2           2
                                      (c  - 1) h + c  - 1
     2                         2           2     4      2
 + (c  - 1) sqrt(h + 1) sqrt((c  - 1) h + c ))/(c  - 2 c  + 1)
                                 2
             2       c sqrt(1 - c )     3
   sqrt(1 - c ) atan(--------------) + c  - c
                          2
                         c  - 1
 - ------------------------------------------
                  4      2
                 c  - 2 c  + 1

Es posible que desee intentar configurarlo de la misma manera en Mathematica. Sin duda, será más simple y más fácil de interpretar después del cambio de variables.

En realidad, no hay garantía de que este resultado sea real solo porque no hay$i$está en eso. Tiene una raíz cuadrada que parece que podría ser imaginaria. La forma en que sabemos que debería ser real es que es una integral definida de un integrando real. Si luego desea verificar si realmente es real, intente usar algunos números aleatorios para$C$y$h$. Si el resultado resulta ser real, entonces eso no es una coincidencia. Si resulta complejo, entonces uno de los siguientes puede ser válido: (1) lo ha codificado incorrectamente, (2) hay un error en el CAS o (3) hay un problema con los cortes de rama para la tangente inversa.