Tiempo adecuado a lo largo del camino en Minkowski Space

Question

Tiempo adecuado a lo largo del camino en Minkowski Space

Sara Jayne

Considera el camino $x^\mu(u)$ en el espacio de Minkowski; tal que:

t = \frac{a}{C} pecado (tu), X = a aporrear (tu), y = 0, z = 0

$t = \frac{a}{c} \sinh(u) , \quad x = a \cosh(u) ,\quad y = 0 ,\quad z = 0$

dónde $a$ es una constante positiva y $u$ es un parámetro

Usa la ecuación:

C \nabla τ = d s = \sqrt{η_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}} d tu

$c \nabla \tau = ds = \sqrt{\eta_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} du$ para encontrar el tiempo adecuado transcurrido a lo largo del camino a partir de

u = 0

$u = 0$ , como una función de

u

$u$ .

Tengo bastantes problemas con el uso de la notación si alguien me pudiera ayudar, por favor.

Hasta ahora he establecido:

d_{tu} X^{m} = (\frac{a}{C} aporrear (tu), a pecado (tu), 0, 0))

$d_u x^{\mu} = \left(\frac {a}{c}\cosh(u),\, a\sinh(u),\,0,\,0\right))$

Entonces:

η_{m v} d_{tu} X^{m} d_{tu} X^{v} = \sum_{m = 0}^{3} \sum_{v = 0}^{3} η_{m v} d_{tu} X^{m} d_{tu} X^{v}

$\eta_{\mu\nu} d_u x^{\mu} d_u x^{\nu} = \sum_{\mu =0}^{3} \sum_{\nu =0}^3 \eta_{\mu\nu} d_u x^{\mu} d_u x^{\nu}$

luego me pierdo un poco...

Vibert

puedes calcular

{\dot{x}}^{μ} (u) = d x^{μ} (u) / d u

$\dot{x}^\mu(u) = dx^\mu(u)/du$ ? Este es el primer paso (y casi el último).

Sara Jayne

Sí, lo siento, estaba actualizando lo que hice, llegué al paso anterior y luego me perdí un poco. (Estoy tratando de seguir un ejemplo)

Dilatón

Realmente desearía que la gente se abstuviera de votar para cerrar preguntas técnicas tan legítimas...

Respuestas (1)

Tiempo adecuado a lo largo del camino en Minkowski Space

puedes calcular $\dot{x}^\mu(u) = dx^\mu(u)/du$ ? Este es el primer paso (y casi el último).
Sí, lo siento, estaba actualizando lo que hice, llegué al paso anterior y luego me perdí un poco. (Estoy tratando de seguir un ejemplo)
Realmente desearía que la gente se abstuviera de votar para cerrar preguntas técnicas tan legítimas...

Cazador · Answer 1

Supongamos que utiliza la métrica:

{η_{m v}} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$\left\{ \eta_{\mu \nu} \right\} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ (Tenga en cuenta que también podría usar:

{η_{m v}} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\left\{ \eta_{\mu \nu} \right\} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ lo cual es solo una cuestión de convenciones).

Ahora, interpretamos las notaciones de la siguiente manera (como mencionaste en tu comentario):

\begin{matrix} (1) & \sqrt{η_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}} = \sqrt{\sum_{m = 0}^{3} \sum_{v = 0}^{3} η_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}} \end{matrix}

$\begin{equation} \sqrt{\eta_{\mu \nu} \dot{x}^\mu\dot{x}^\nu} = \sqrt{\sum\limits_{\mu=0}^3\sum\limits_{\nu=0}^3\eta_{\mu \nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} \tag{1} \end{equation}$ Para evaluar esto, es importante tener en cuenta:

η_{m v} = 0 si m \neq v

$\eta_{\mu \nu} = 0 \text{ if } \mu \neq \nu$ Por lo tanto, escribiendo la ecuación

(1)

$(1)$ completamente:

\begin{aligned} \sqrt{η_{m v} {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}} & = \sqrt{η_{00} {\dot{X}}^{0} {\dot{X}}^{0} + η_{11} {\dot{X}}^{1} {\dot{X}}^{1} + η_{22} {\dot{X}}^{2} {\dot{X}}^{2} + η_{33} {\dot{X}}^{3} {\dot{X}}^{3}} \\ = \sqrt{{\dot{X}}^{0} {\dot{X}}^{0} - {\dot{X}}^{1} {\dot{X}}^{1} - {\dot{X}}^{2} {\dot{X}}^{2} - {\dot{X}}^{3} {\dot{X}}^{3}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{\eta_{\mu \nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} & = \sqrt{ \eta_{00}\dot{x}^0 \dot{x}^0 + \eta_{11}\dot{x}^1 \dot{x}^1 + \eta_{22}\dot{x}^2 \dot{x}^2 +\eta_{33}\dot{x}^3 \dot{x}^3} \\& = \sqrt{ \dot{x}^0 \dot{x}^0 - \dot{x}^1 \dot{x}^1 -\dot{x}^2 \dot{x}^2 -\dot{x}^3 \dot{x}^3} \end{aligned} \end{equation}$ Además:

\begin{matrix} (2) & {X^{m}} = (\begin{matrix} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} C t \\ X \\ y \\ z \end{matrix}) \end{matrix}

$\begin{equation} \left\{ x^\mu \right\} = \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \tag{2} \end{equation}$ En este punto, solo está sustituyendo todo en la fórmula y evaluándolo.

Editar:

Una de las propiedades más importantes de la relatividad especial es que todos los marcos de referencia inerciales son físicamente equivalentes. Esto significa que si un observador ve $ct,x,y,z$ y el otro ve $ct',x',y',z'$ , que en general puede no ser igual, todavía tenemos:

C^{2} t^{2} - X^{2} - y^{2} - z^{2} = C^{2} t^{' 2} - X^{' 2} - y^{' 2} - z^{' 2}

$\begin{equation} c^2 t^2-x^2 - y^2 - z^2 = c^2 t'^2-x'^2 - y'^2 - z'^2 \end{equation}$ Esto se puede escribir de manera más compacta (y manifiestamente invariante de Lorentz) por la ecuación de camino

(2)

$(2)$ se define:

η_{m v} X^{m} X^{v} = η_{m v} X^{' m} X^{' v}

$\eta_{\mu \nu} x^\mu x^\nu = \eta_{\mu \nu} x'^\mu x'^\nu$ Por eso la ecuación

(2)

$(2)$ se define como es.

¿Puedes agregar un factor de $c^2$ en $\eta_{00}$ ? Esto es necesario en las convenciones de OP.
¡Muchas gracias por tu ayuda! Realmente lo aprecio. ¿Puedo preguntar por qué agrega el factor de c ^ 2?
@SarahJayne He editado mi mensaje original. Espero que esto responda a tu pregunta.
@SarahJayne: el factor de $c^2$ siempre está implícito en el componente de tiempo de la métrica; esto es simplemente un análisis dimensional, como velocidad*tiempo = distancia. Pero algunos autores establecen $c=1$ , ya que siempre puedes encontrar las potencias correctas de $c$ en su respuesta final por análisis dimensional. En tu definición del camino $x^\mu(u)$ hay un factor de $c$ incluido; si escribe olvidó compensar en la métrica, termina con una respuesta muy fea.

Tiempo adecuado a lo largo del camino en Minkowski Space

Sara Jayne

Vibert

Sara Jayne

Dilatón

Respuestas (1)

Cazador

Vibert

Sara Jayne

Cazador

Cazador

Vibert

Vibert

Definición de 4 vectores

Notación de tensores mixtos: ¿riesgo de confusión en las posiciones del índice?

Contracción de la longitud, dilatación del tiempo y contradicción de los intervalos del espacio-tiempo

Producto interno de Klein-Gordon: cómo hacerlo realidad

¿Cómo derivo la contracción de Lorentz del intervalo invariante?

Prueba de que existe un potencial de 4 a partir de la ecuación de campo de Gauss-Faraday

Derivación simple de las ecuaciones de Maxwell del tensor electromagnético

¿Qué es el tiempo adecuado, la velocidad adecuada y la aceleración adecuada?

Movimiento de cohete de aceleración uniforme en relatividad especial

Pregunta sobre productos internos de tensores y convención de suma de Einstein