¿Qué teorías son consistentes?

¿Son consistentes las siguientes teorías? En cada caso, justifica tu respuesta.

(a)$\{\neg(x_1\doteq x_2)\text{, } \neg(x_2\doteq x_3) \text{, } \neg(x_1\doteq x_3)\}$

(b)$\{\exists x_1\exists x_2\exists x_3(\neg(x_1\doteq x_2)\land \neg(x_2\doteq x_3)\land \neg(x_1\doteq x_3))\}$

(C)$\{\forall x_1\forall x_2\forall x_3(\neg(x_1\doteq x_2)\land \neg(x_2\doteq x_3)\land \neg(x_1\doteq x_3))\}$

Solución:

Definición: Una teoría$\Gamma$se llama consistente si$\Gamma\nvdash\bot$. Una teoría$\Gamma$se llama inconsistente si$\Gamma\vdash\bot$

El único método que he aprendido a derivar es por deducción natural, pero también hemos aprendido el teorema de completitud que dice brevemente "$\varphi\vDash\psi\implies\varphi\vdash\psi$". Mi maestro dijo que si queremos probar que una teoría es consistente, solo tenemos que encontrar un modelo, que sea fácil de ver usando el teorema de solidez$\varphi\vdash\bot\implies\varphi\vDash\bot$. También hemos aprendido que si queremos probar que algo es derivable, podemos hacerlo aplicando el teorema de completitud y demostrando que la consecuencia lógica debe cumplirse. Pero luego mi maestro dijo que si queremos probar que una teoría es INCONSISTENTE, solo tenemos que derivar lo falso de algunos supuestos de la teoría. Pero luego me pregunto por qué no es posible usar un argumento similar en este caso. ¿Usar algún argumento y concluir que esto siempre debe ser falso?

(b) es consistente. De acuerdo con (a), ¿es consistente esta teoría? Quiero decir, ¿puedo usar este modelo como mi ejemplo?$\exists x_1\exists x_2\exists x_3(\neg(x_1\doteq x_2)\land \neg(x_2\doteq x_3)\land \neg(x_1\doteq x_3))$? es decir, usar$\exists$-¿señales?

Entonces; mi conjetura es que (c) es la única teoría inconsistente entre esto. Sin embargo, aún no he tratado de derivar falso de esto. Espero que alguien pueda ayudarme. Gracias :)