Pregunta sobre equivalencias de cuantificación nula

Actualmente soy estudiante de Filosofía tomando un curso de lógica y estoy confundido acerca del concepto de cuantificación nula. Y el libro de texto de LPL, que estamos usando en clase, introduce la idea, pero no muestra mucho más allá de ejemplos básicos como los siguientes:

$$∀x \,P ⇔ P \text{ or } ∀x\, (P ∨ Q(x)) ⇔ P ∨ ∀x\, Q(x).$$ Puedo entender ambos ejemplos ya que son bastante intuitivos, sin embargo, en la tarea que me asignó mi maestro, encontré dos demostraciones con el siguiente formato:

1º

Premisa:$∃x\, (P(x) → Q(a))$

Meta:$∀x\, P(x) → Q(a)$

2do

Premisa:$∀x\, P(x) → Q(a)$

Meta:$∃x\, (P(x) → Q(a))$

No tengo idea de cómo empezar a llenar la segunda prueba. Investigué un poco en línea y descubrí que esta prueba sigue el formulario$∃x\, (ϕ(x) → ψ) ⇔ ∀x\, ϕ(x) → ψ$(dónde$x$no ocurre como una variable libre en$ψ$). He podido probar el primer problema con bastante facilidad en unos 7 pasos, pero no tengo idea de cómo abordar el segundo.

Sé que tendré que demostrar que$P(x) → Q(a)$así que puedo presentar el cuantificador existencial, pero no sé cómo puedo hacerlo. El segundo problema parece sustancialmente más difícil que el primero, ¿me estoy perdiendo algo?

Editar: estoy a un paso de resolver este problema, sin embargo, ¿por qué no funciona mi prueba de De Morgan? Pensé que este era el uso correcto de la introducción del significante universal.