Teoría detrás de la relación entre la masa de un cilindro y el tiempo que tarda en rodar por una pendiente: ¿resistencia del aire?

La explicación más probable para la variación en el tiempo de descenso es el cambio del momento de inercia (MI) del cilindro. MI cambia porque cambia la distribución de la masa alrededor del eje del cilindro.

La resistencia del aire se ofrece con frecuencia como explicación de las discrepancias en los experimentos de mecánica escolar, pero esto rara vez es apropiado. ¿ Vea mi respuesta a la resistencia del aire con fines prácticos?

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La aceleración hacia abajo de la pendiente es [1]

$$a=\frac{g\sin\theta}{1+k}$$ donde está el MI sobre el centro $I=kMR^2$. La aceleración es constante, por lo que la distancia y el tiempo a lo largo de la pendiente están relacionados por $s=\frac12 at^2$. Por lo tanto, para una longitud y un ángulo de inclinación fijos $t^2$debe ser proporcional a $1+k$.

La masa del cilindro vacío se distribuye principalmente en el borde. Para tal cilindro hueco el MI es$MR^2$entonces$k=1$. Para un cilindro sólido de densidad uniforme, el MI es$\frac12 MR^2$entonces$k=\frac12$. La relación de tiempos de descenso debe ser$\sqrt{\frac{1+1}{1+\frac12}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=1.1547$.

Usando tus cifras, y asumiendo que el cilindro más liviano se aproxima a una capa cilíndrica mientras que el más pesado se aproxima a un cilindro sólido del mismo radio, esta relación es$\frac{2.119}{1.835}=1.15468$. Esto es vergonzosamente cercano a la predicción, y (creo) confirma que esta explicación probablemente sea la correcta. No hay necesidad de invocar ni la resistencia del aire ni la resistencia a la rodadura como explicación.

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Para un análisis más completo de sus datos,$k$tiene que estar relacionado con la distribución de masa en el cilindro.

Suponiendo que el cilindro vacío no tiene extremos, su MI es [2]$\frac12 m (R^2+r^2)$dónde$R, r$son los radios exterior e interior. El MI del relleno es$\frac12 (M-m) r^2$dónde$M, m$son la masa total y la masa del cilindro vacío. Entonces el MI total del cilindro lleno es
$kMR^2=\frac12 m (R^2+r^2)+\frac12 (M-m) r^2$
$k=\frac12 \mu (1+\rho^2)+\frac12 (1-\mu) \rho^2=\frac12(\mu+\rho^2)$
dónde$\mu=m/M$y$\rho=r/R$.

deberías encontrar eso$t^2=\frac{L}{g\sin\theta}(2+\rho^2+\mu)$dónde$L$es la distancia recorrida a lo largo del plano inclinado.

Usando sus datos tracé el siguiente gráfico de$t^2$contra$\mu=m/M$, junto con una línea de tendencia, pero podría usar los valores en su experimento$(L, R, r, \theta)$para graficar la variación predicha. Tenga en cuenta que los puntos de datos están en orden inverso en comparación con su lista. El punto de datos para una masa de 0,196 kg.

$(\mu \approx 0.37)$es un candidato obvio para la investigación. Supongo que esto podría ser los granos. Como un fluido, estos tenderían a mantener su posición mientras la carcasa del cilindro gira a su alrededor. Efectivamente, los granos dentro de la cáscara se deslizan en lugar de rodar por la pendiente; sólo la cáscara está girando. Esto reduce el tiempo de descenso.

El tiempo de descenso medido es mayor que mi predicción cuando la masa del relleno es pequeña$(\mu \ll 1)$. Posiblemente esto podría explicarse si el contenedor tiene extremos de cartón.

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[1] http://www.phys.ufl.edu/courses/phy2053/spring12/lectures/PHY2053_03-15-12.pdf , diapositiva 6.
[2] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu /hbase/ihoop.html

Seguí adelante y encontré la ecuación de movimiento de un cilindro rodando por una rampa, despreciando la fricción de rodadura$^1$pero incluyendo arrastre cuadrático. El arrastre cuadrático significa que la fuerza de arrastre es proporcional a$v^2$. La ecuación de movimiento es la siguiente, donde$x$representa la distancia total recorrida por la rampa:

$$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}-\frac{\rho A C_d}{m}\dot{x}$$

Encontré el primer término de la mecánica lagrangiana, estableciendo

$$T=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega ^2$$ $$V=-mgx\sin{\theta}$$

Para un cilindro,$I=\frac{1}{2}mr^2$y$\omega = \frac{v}{r}$.

Resolviendo la ecuación de Lagrange

$$\frac{d}{dt} ( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}})= \frac{\partial L}{\partial x}$$

da

$$\ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}.$$

A continuación, acabo de incluir el término de arrastre cuadrático$F_d=\frac{1}{2}\rho v^2 C_d A$, y dividido por la masa a través de$F=ma$.

Desde$v^2=\dot{x}^2$, podemos sustituir eso en las ecuaciones. El resto de los términos no dependen de la masa ($A$está relacionado con la masa a través de$\rho_{cylinder}$, pero el$\rho$en la ecuacion es$\rho_{air}$)

Resolviendo esta ecuación diferencial, estableciendo$a=\frac{2}{3}g\sin{\theta}$y$b=\rho A C_d$, obtenemos

$$x=\frac{a}{b}mt+\frac{c_1 m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}+c_2.$$

Usando esta ecuación, y estableciendo$x(0)=\dot{x}(0)=0$(desde$x$es la distancia rodada por la rampa), podemos obtener

$$c_1=\frac{a}{b}m$$ $$c_2=-\frac{am^2}{b^2}$$

lo que nos da una ecuación final de

$$x=\frac{a}{b}mt+\frac{a m^2}{b^2}e^{\frac{-bt}{m}}-\frac{am^2}{b^2}.$$

Esto es muy difícil, si no imposible, de resolver empíricamente.$t(m)^2$, así que en lugar de eso, lo grafiqué en desmos para valores arbitrarios de$x$,$a$y$b$, solo para ver la dependencia de$t$en$m$.

¡Esta es la dependencia que encontré, que parece coincidir muy bien con su dependencia! Se incluyen los residuos, aunque no incluí las barras de error.

Y aquí está el enlace para jugar con él: https://www.desmos.com/calculator/akux3vsubk

¡Espero que esto ayude / responda a su pregunta!

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$^1$Si se incluye la fricción de rodadura, simplemente se absorbe en el$a$término, ya que depende de la masa, por lo que la masa se cancela al encontrar la aceleración.

$^2$Haciendo a=b=x=1, podemos resolver para$t(m)$y obtener (a través de Wolfram Alpha)

$$t=\frac{m^2 W(-e^{-1-\frac{1}{m^2}})+m^2+1}{m}$$

dónde$W(x)$es la función logarítmica del producto , o función W de Lambert, que da el inverso de$f(z)=ze^z$