Gráficos de Feynman en la teoría cuántica de campos no conmutativos

1. A menudo, cuando los físicos se refieren a la teoría de campos no conmutativos , están hablando de un producto estrella$\star$dentro de la densidad lagrangiana, por ejemplo, no conmutativa$\phi^4$-la teoría es

   $${\cal L}~=~-\frac{1}{2}\partial_{\mu} \phi ~\partial^{\mu} \phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi\star\phi\star\phi\star\phi,$$ es decir, arriba$^1$en la integral de trayectoria .

   El producto estrella$\star$a menudo se supone que no es conmutativo solo en direcciones espaciales. Entonces el producto estrella$\star$no interfiere con la prescripción de división de tiempo/ordenamiento en la integral de trayectoria, y no habrá$\star$-diferenciaciones abajo en la integral de trayectoria. Consulte también, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí y los enlaces que contiene.

2. Los diagramas planos de Feynman no conmutativos utilizan la notación de doble índice/línea de 't Hooft . Esto tiene sentido porque el producto estrella$\star$puede verse como una multiplicación de matrices (posiblemente de dimensión infinita). El momento$p=\ell_a-\ell_b$en un propagador de doble línea es la diferencia entre los momentos de las dos líneas simples. De esta forma, la conservación del impulso general se implementa automáticamente y los vértices toman una forma más simple.

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$^1$Una función de correlación$\langle F \rangle$en la formulación de la integral de trayectoria es esquemáticamente de la forma$\langle F \rangle=\frac{1}{Z} \int F e^{\frac{i}{\hbar}S}$. Las palabras abajo y arriba se refieren a$F$y$S$, respectivamente, por razones con suerte obvias.