¿Qué es la independencia de fondo y qué tan importante es?

1. La independencia de fondo es generalmente la independencia de las ecuaciones que definen una teoría sobre todos los valores permitidos de sus grados de libertad, especialmente los valores de los campos de espacio-tiempo, especialmente el tensor métrico. Sin embargo, este concepto tiene varios niveles que no son equivalentes y las diferencias a menudo son importantes para responder preguntas sobre la "necesidad" de la independencia de fondo, ver más abajo.

2. no lo sabemos La independencia de fondo [manifiesta, ver más abajo] es una expectativa estética, se podría decir un prejuicio, que no podemos probar de ninguna manera científica, por lo que el progreso de la ciencia puede mostrar que ha sido una buena guía o que fue una restricción excesiva engañosa . Desde hace varios siglos, sabemos que la ciencia no puede progresar sistemáticamente imponiendo dogmas filosóficos arbitrarios y defendiéndolos obstinadamente. La ciencia a menudo descubre que algunas expectativas filosóficas, por "hermosas" o "convincentes", han sido inválidas. Las expectativas sobre la "independencia de fondo" no son una excepción. Una vez más, se desconoce si la "mejor" forma final de una teoría del todo (si existe "una mejor forma", que es otro "si" aunque relacionado

3. No, no existe una forma conocida de demostrar que la falta de independencia de fondo ya implica que una teoría no es una teoría completa de todas las interacciones y tipos de materia. Algunas condiciones necesarias para la consistencia pueden entenderse en el futuro, pero en este momento, es una especulación si existen.

Ahora, las sutilezas. Escribiste implícitamente que la teoría de cuerdas depende del fondo. Esta es una pregunta muy delicada. Algunas formulaciones (conjuntos particulares de ecuaciones que se utilizan para definir la teoría, al menos para una subclase de situaciones) como AdS/CFT o la teoría Matrix dependen del contexto. Por ejemplo, AdS/CFT se formula como una teoría con un trasfondo preferido, el espacio vacío$AdS_d\times M$, y todos los demás estados se construyen "sobre eso". De manera similar, la teoría de matrices define la teoría del espacio plano multiplicado por una variedad simple (toroide, K3, etc.). No hay forma de ver fondos "completamente" diferentes en esta imagen e incluso la equivalencia con otras formas cercanas del espacio-tiempo está lejos de ser obvia. En la teoría de Matrix, uno tiene que construir un nuevo modelo de matriz para un nuevo fondo (este hecho es parte del paquete de calibre del cono de luz).

Sin embargo, estas son solo observaciones sobre cómo "se ven" las ecuaciones. Las declaraciones invariantes sobre una teoría claramente no deberían depender de la forma en que las ecuaciones "se ven", sobre algún revestimiento posiblemente engañoso en la superficie: solo deberían depender de las propiedades matemáticas y físicas reales de la teoría que se puede medir. Cuando hacemos preguntas sobre la validez o la integridad de una teoría, en realidad no deberíamos estar hablando de "independencia de fondo vista en las ecuaciones", sino más bien de "independencia de fondo de la dinámica".

La dinámica de la teoría de cuerdas es demostrablemente independiente del fondo.

Este punto puede mostrarse en la mayoría de las formulaciones que conocemos. La teoría de cuerdas perturbativa (que requiere que el acoplamiento de cuerdas permanezca débil y usa la debilidad para organizar las "cuerdas fundamentales" alrededor como los únicos objetos elementales mientras que todo lo demás es un "solitón" o "compuesto") es una expansión de ley de potencia alrededor un fondo predeterminado, pero podemos mostrar fácilmente que si definimos la teoría de cuerdas perturbativa como una expansión alrededor de un fondo diferente, obtenemos una teoría equivalente. Se puede obtener un fondo a partir de otro fondo añadiendo excitaciones físicas reales (un estado coherente de gravitones y módulos) permitidas por este "otro fondo". Solo hay una teoría perturbativa de supercuerdas en este sentido, cuyos campos de espacio-tiempo pueden dividirse en "fondo" y "

Hay una cuestión relacionada con si el "espacio de posibles fondos" está conectado. Gran parte está conectado por dualidades y varias transiciones: dualidades T, dualidades S, dualidades U, transiciones conifold y flop, y varias relacionadas que son más sofisticadas y entendidas por menos personas. Está mucho más conectado de lo que la gente imaginaba en la década de 1980. Cuando observamos vacíos lo suficientemente simples y simétricos, realmente parecen estar conectados: solo hay un componente de la teoría de cuerdas/M. Por otro lado, la conexión total no es un dogma. Es una pregunta científica y matemática cuyas dos respuestas son concebibles hasta que se demuestre lo contrario. Las mismas ecuaciones pueden admitir soluciones que no se pueden deformar entre sí en absoluto.

Cuando hablamos de independencia de fondo, hay una pregunta técnica más, a saber, si queremos que la teoría tenga la misma forma para todos los fondos, incluidos aquellos que cambian el espacio-tiempo en el infinito, o solo fondos que conservan los campos en la región asintótica. AdS/CFT depende del fondo en un sentido porque requiere que los campos en el infinito converjan al$AdS_d\times M$geometría con todos los campos en sus valores esperados (normalmente cero). En general, las configuraciones que cambian la región asintótica son estados de "energía muy infinita" que en realidad no se pueden construir de manera confiable en el CFT original. Sin embargo, si solo considera los antecedentes que difieren en la "masa", todavía se podría decir que incluso AdS/CFT (y de manera similar la teoría de Matrix) es independiente del fondo, aunque no de manera manifiesta.

Ahora, el gran elefante es la "independencia de fondo manifiesta", una forma de ecuaciones que no intentan mostrarle ningún fondo preferido en absoluto y que son tan fáciles (o difíciles) de aplicar a un fondo como a cualquier otro, arbitrariamente lejano. antecedentes. Todos los antecedentes deben surgir como soluciones y deben surgir "con la misma facilidad". Esta es la "independencia de fondo manifiesta". Algunas personas siempre quieren decir "independencia de fondo manifiesta" cuando hablan de "independencia de fondo": deberían ser muy fáciles de ver que todos los fondos se derivan de las mismas ecuaciones, piensan. Nuevamente, es una expectativa estética que no puede mostrarse "necesaria" para nada en física, ni siquiera la "integridad" de una teoría como un TOE final.

Hay éxitos limitados. Por ejemplo, la teoría del campo de cuerdas abierto de Witten cúbico (del tipo Chern-Simons) se puede escribir de forma independiente del fondo, de modo que el término cúbico sea el único término que quede en la acción. Es elegante, pero en realidad, siempre resolvemos las ecuaciones para que encontremos una solución similar al fondo y nos expandamos alrededor de ella, para volver a la forma cuadrática más cúbica (similar a Chern-Simons) de la acción. Si bien el punto de partida puramente cúbico es elegante, no estamos aprendiendo demasiado del primer paso: solo estamos reformulando las condiciones de consistencia para los fondos como el hecho de que resuelven algunas ecuaciones (algo formales).

La teoría del campo de cuerdas solo es buena para estudiar la física de cuerdas perturbativas (y por algunas razones técnicas, en realidad funciona completamente para procesos con cuerdas internas abiertas solo, aunque todos los estados de cuerdas cerradas pueden verse como polos en las amplitudes de dispersión). De manera no perturbativa (en un acoplamiento fuerte), la independencia del fondo se vuelve más difícil porque debería hacer que todas las dualidades S (equivalencia entre la teoría de cuerdas fuertemente acoplada de un tipo y la teoría de cuerdas débilmente acoplada de otro tipo o del mismo tipo) se manifiesten. A pesar de la abrumadora evidencia que respalda las dualidades, no existe una formulación conocida que las manifieste todas.

No hay forma de argumentar de manera convincente que hay algo mal en esta situación. De hecho, uno podría ir más allá. Se podría decir que los físicos han acumulado evidencia circunstancial de que "la formulación que pone de manifiesto todas las simetrías y relaciones" es una quimera, nos guste o no el sabor de estos resultados. Es una situación bastante típica que las formulaciones que hacen que algunas características de la teoría se manifiesten hagan que otras características de la teoría sean "difíciles de ver" y viceversa. Por ser tan típica, podría ser incluso una "ley" -un nuevo tipo de "complementariedad" que va directamente contra la "independencia de fondo"- aunque tendríamos que formular la ley con rigor y nadie sabe cómo hacerlo.

Por ejemplo, la teoría de cuerdas perturbativa ordinaria en espacios que asintoman el espacio de Minkowski de 10 dimensiones se puede escribir usando ecuaciones "covariantes". Esa es la palabra para una descripción que hace manifiesta la simetría del espacio-tiempo de Lorentz. Pero cuando lo hacemos, la unitaridad, especialmente la ausencia de estados "fantasmas" de norma negativa en el espectro, se vuelve difícil de probar. Y viceversa. Las formulaciones de calibre de cono de luz manifiestan la unitaridad pero oscurecen la simetría bajo algunos generadores de la simetría de Lorentz. Es algo inevitable.

Además, los enfoques covariantes (RNS) hacen que la supersimetría del espacio-tiempo sea algo difícil de probar. Esta "complementariedad" puede no ser inevitable; El formalismo de espinor puro de Nathan Berkovits, si funciona y apuesto a que lo hace, hace que tanto la simetría de Lorentz como la supersimetría se manifiesten. También está cerca de una descripción Green-Schwarz de calibre de cono de luz, por lo que la "unitaridad" tampoco es demasiado difícil. Sin embargo, tiene un número infinito de fantasmas de la hoja del mundo (y fantasmas por fantasmas, y así sucesivamente, indefinidamente) y se podría argumentar que la ausencia de varios problemas relacionados con ellos no es manifiesta.

El panorama de la teoría de cuerdas/M, tal como la conocemos hoy, es bastante complicado y tiene mucha estructura. Debemos afinar nuestras herramientas si queremos estudiar algunas transiciones en este paisaje, una región del mismo. Las herramientas necesarias para distintas preguntas parecen no ser equivalentes. Una formulación manifiesta e independiente de la teoría de cuerdas haría que todas estas transiciones fueran igualmente accesibles: todas las herramientas serían realmente "una herramienta" utilizada de muchas maneras. En cierto sentido, esta construcción deseada tendría que unificar "todas las ramas de las matemáticas" que se vuelven relevantes para la investigación de preguntas separadas en varios rincones de la teoría de cuerdas (y créanme, parece que diferentes rincones de la teoría de cuerdas lo obligan a aprender funciones y estructuras algebraicas y geométricas realmente diferentes, estudiadas por matemáticos muy diferentes, etc.). Sería una formulación que está "muy por encima" de todo este paisaje "multiple". Tal formulación de "talla única" es intrigante, pero de ninguna manera se garantiza que exista y los intentos fallidos de encontrarla a lo largo de los años nos brindan alguna evidencia (aunque no una prueba) de que no existe.

En cambio, muchas personas imaginan que el paisaje de la teoría de cuerdas es una especie de variedad que inevitablemente debe describirse mediante "parches" que se pegan suavemente a sus vecinos. Cada parche requiere matemáticas algo diferentes. Al igual que las variedades pueden describirse en términos de un atlas de parches, lo mismo podría ser cierto para el panorama de la teoría de cuerdas/M. También tenemos formas más unificadas y menos fragmentadas de pensar en las variedades. No está claro si la contrapartida de estos caminos es posible para el paisaje fibroso y, si es posible, si la mente humana es capaz de encontrarla.

Así que nada está garantizado. Las transiciones en el paisaje y las dualidades y los grupos de dualidades son matemáticamente tan diversos y ricos que una formulación que los "escupe" a todos como soluciones a algunas ecuaciones o condiciones universales es, de hecho, una meta ambiciosa. Puede ser imposible encontrarlo.

También quiero mencionar un punto simple sobre las teorías no estrictas. La independencia de fondo se utiliza a veces como "eslogan de marketing" para algunas propuestas sencillas, pero el eslogan es extremadamente engañoso porque en lugar de explicar todos los grupos de dualidad en el panorama completo, incluidos, por ejemplo, los$E_{7(7)}(Z)$El grupo de dualidad U de la teoría M en un siete toroide (estos grupos de Lie excepcionales son bastante complicados por sí mismos, y deberían aparecer como una de las soluciones a algunas condiciones entre muchas), estas teorías alternativas más bien le dicen que no hay espacio-tiempo y no existen transiciones ni dualidades interesantes en absoluto. Si bien sus defensores intentan convencerlo de que debería gustarle esta respuesta, esta respuesta obviamente es incorrecta porque las transiciones, las dualidades y, especialmente, el espacio-tiempo en sí existe. Esta versión de "teorías independientes del fondo" debería llamarse "teorías que prohíben los fondos" o "teorías que prohíben el espacio-tiempo" y, por supuesto, el hecho de que uno no pueda derivar ningún espacio-tiempo realista de ellas es una razón para abandonarlas de inmediato. , no considerarlos competidores viables de la teoría de cuerdas/M. Esta versión de "independencia de fondo" no tiene absolutamente nada que ver con el ambicioso objetivo de encontrar reglas que nos permitan derivar "todas las dualidades y transiciones que conocemos en física (no solo las nuevas, puramente fibrosas, sino también las más antiguas que han sido conocidas en física antes de la teoría de cuerdas)" como soluciones. En cambio, este tipo de marketing de "independencia de fondo" es un juego de manos para argumentar que debemos olvidarnos de toda la física y que no hay nada que explicar, ni dualidades, ni transiciones, ni espacios de módulos, ni espacio-tiempo. Y cuando creemos que no hay nada ahí fuera, que no hay matemáticas relevantes, etc., una teoría del todo se vuelve equivalente a una teoría de la nada y es fácil escribirla. Que'

En resumen, la independencia de fondo es generalmente un intento de encontrar formulaciones de teorías lo más universales, que abarquen todo y elegantes, especialmente la teoría de cuerdas/M, pero es una expectativa emocional, no una condición sólida que las teorías deben obedecer. , y en realidad debemos escuchar la evidencia si queremos saber si la expectativa es correcta, en qué medida es correcta y qué nuevos temas relacionados tenemos que aprender, aunque no teníamos idea de que pudieran importar. También es posible que las ecuaciones independientes del fondo sean en realidad "condiciones de consistencia de la gravedad cuántica" (que pueden estar escritas por algunas condiciones cuantitativas cuya forma precisa solo se conoce parcialmente): cuando tratamos de encontrar todas las soluciones, encontramos el total panorama de la teoría de cuerdas/M. Tal formulación de la teoría de cuerdas/M sería extremadamente no constructiva pero, después de todo, eso es lo que siempre quiso la "independencia de fondo". Tal vez no queremos demasiada independencia de fondo.

La respuesta de Lubos es correcta. Pero vale la pena enfatizar que no existe una definición acordada de "independencia de fondo" en general.

La literatura está llena de definiciones que difieren entre sí, tanto en intención, filosofía y detalles matemáticos cruciales. Las diferentes teorías usarán la palabra de maneras muy diferentes y, a menudo, es confuso clasificar (especialmente cuando intenta usar el concepto como un tamiz de teorías)

De hecho, diferentes tipos de teorías ni siquiera estarán de acuerdo en qué es un 'antecedentes' en primer lugar. Por ejemplo, en GR un fondo es una solución clásica de la ecuación de Einstein, dada por un tensor métrico. Mientras que en la teoría de cuerdas no hay antecedentes que solo involucren un tensor métrico. En cambio, un fondo es una criatura mucho más general con varios módulos y campos adicionales (de hecho, una torre infinita de modos vibratorios).

Una mayor independencia de fondo a menudo se confunde con varias palabras de moda que significan diferentes cosas en diferentes contextos. Es posible que escuche las palabras 'sin geometría previa', 'falta de estructura absoluta' y también se confunde a menudo (erróneamente en mi opinión) con la covarianza general y el uso del método de campo de fondo en la teoría de campos.

En cierto sentido, la intención es realmente separar las cosas que permanecen fijas en una teoría y las que se dejan ser dinámicas o variadas. Anderson en su libro GR de la década de 1960 inició este tipo de programa, y ​​varias personas lo generalizaron a la gravedad cuántica en los años 80. Creo que es justo decir que este tipo de idea se encuentra con una serie de problemas. La primera es que a menudo es fácil tomar algo que está fijo y hacerlo parecer dinámico mediante varios trucos. Y luego está lo contrario. Puede tomar una teoría que es dinámica y escribirla en un formalismo en el que se permite que las cosas se arreglen.

Por lo tanto, es realmente difícil resolver la idea física esencial, en lugar de simplemente tomarla como un criterio estético elegante.

La teoría de Maxwell en el espacio-tiempo de Minkowski depende del fondo porque la métrica de Minkowski, una estructura geométrica fija, es PARTE de la FORMULACIÓN de la teoría. La métrica de Minkowski aparece en el principio de acción por ejemplo.

La relatividad general es profundamente diferente porque no hay una estructura geométrica de fondo fija en la acción de Einstein-Hilbert, no hay una estructura geométrica fija que sea parte de la formulación de la teoría. GR es independiente del fondo.

La relación con la covarianza general es el argumento del agujero de Einstein:

La covarianza general dice que las leyes de la física deben tomar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas. Digamos que tiene coordenadas x y coordenadas y, decir que la ecuación de movimiento tiene la misma forma es lo mismo que decir que tiene exactamente la misma ecuación diferencial para resolver pero en el primer caso la variable independiente es x pero en el segundo diferencial ecuación la variable independiente es y. (En el argumento del agujero, pensaremos solo en las ecuaciones del campo de vacío para comenzar).

Ahora, si piensa en esto, como Einstein, concluirá que tan pronto como encuentre una función de tensor métrico que resuelva la ecuación diferencial en las coordenadas x, simplemente escriba la misma función pero reemplace x con y y eso SOLUCIONARÁ la ecuación diferencial en las coordenadas y. Como las funciones del tensor tométrico tienen la misma forma pero pertenecen a diferentes sistemas de coordenadas, ¡impondrán DIFERENTES geometrías de espacio-tiempo!

Ahora aquí viene el problema que preocupaba a Einstein. Digamos que tiene una superficie espacial inicial dada por t=0, y más allá de la superficie tiene una región cerrada de espacio-tiempo desprovista de materia (el Agujero). Digamos que los dos sistemas de coordenadas coinciden entre sí en todas partes fuera del Agujero pero difieren dentro del Agujero... entonces tendrá dos soluciones, ambas tienen las mismas condiciones iniciales pero imponen una geometría diferente dentro del agujero. la conclusión es que GR no determina la distancia entre los puntos del espacio-tiempo dentro del Agujero. Einstein retrocedió ante esto y trató de reemplazar el principio de covarianza general solo para resolver el argumento de Hole en 1915.

Para comprender la resolución, primero debe comprender cómo se relacionan estas dos soluciones entre sí. Como ambos tienen la misma forma funcional, eso significa que asumen todos los mismos valores, simplemente los asumen en puntos diferentes. Entonces, una solución está relacionada con la otra arrastrando activamente la función de tensor métrico original sobre la variedad mientras se mantienen unidas las líneas de coordenadas. Esto es equivalente a lo que los matemáticos llamarían un difeomorfismo. Cuando los físicos escuchan el difeomorfismo, tienden a pensar que están hablando de una mera transformación de coordenadas, pero en realidad están hablando de algo mucho más radical.

La resolución de Einstein fue básicamente agregar algunos objetos materiales y definir puntos físicos con respecto a la materia. Definió un punto físico como donde dos trayectorias de partículas se cruzan entre sí. La distancia entre los puntos definidos de esta manera tiene un significado físico y está determinada por la teoría porque cuando realiza un difeomorfismo, arrastra simultáneamente el campo gravitacional y la materia.

O si lo desea, puede introducir un campo de materia, entonces las coincidencias entre el valor que toma el campo gravitacional "donde" el campo de materia toma tal y tal valor SE Preservan bajo difeomorfismos. Entonces podemos formar una noción relacional de la materia ubicada con respecto al campo gravitatorio y viceversa. Lo que Einstein entendió fue que las entidades físicas SÓLO pueden ubicarse una con respecto a la otra. Como dice Rovelli, GR ya no es una teoría de campos que viven en el espacio-tiempo, sino una teoría de campos que viven encima de otros campos. La resolución de Einstein es el origen del dicho "el escenario desaparece y se convierte en uno de los actores", y es a lo que Einstein se refería cuando hizo su comentario "más allá de mis expectativas más salvajes".

Witten entiende la importancia de la invariancia del difeomorfismo. Debido a que los puntos del espacio-tiempo definidos por los valores de las coordenadas no tienen un significado operativo, Witten ha afirmado que en GR no puede haber un campo invariante de calibre local, un campo que es función de las coordenadas del espacio-tiempo, por lo tanto, debemos reemplazar las partículas puntuales con cadenas - ver 16:25 en adelante de su conferencia de Newton: https://www.youtube.com/watch?v=XegXKOvhU9Y (¡sin embargo, las personas en la gravedad cuántica de bucle dirían lo contrario!).

A Witten le gustaría una formulación de la teoría de cuerdas independiente del fondo. En palabras de Ed Witten:

“Encontrar el marco adecuado para una formulación intrínseca e independiente de la teoría de cuerdas es uno de los principales problemas de la teoría de cuerdas, y hasta ahora ha permanecido fuera del alcance”. ... "Este problema es fundamental porque es aquí donde uno realmente tiene que abordar la cuestión de qué tipo de objeto geométrico representa la cuerda". [E Witten: “Independencia del fondo cuántico en la teoría de cuerdas” hep-th/9306122. "Sobre la teoría de campo de cuerda abierta independiente de fondo" hep-th/9208027]

Un punto clave a destacar es que la gente piensa que una solución a las ecuaciones de Einstein es una geometría de espacio-tiempo particular, una geometría de fondo particular, cuando en realidad una solución es una clase de equivalencia de geometrías distintas relacionadas entre sí a través de (lo que los matemáticos llaman) difeomorfismos. . Y si quiere hablar de observables y, por lo tanto, de física, debe tener mucho cuidado de que lo que está calculando o haciendo sea cierto para TODOS los miembros de esta clase de equivalencia.

La existencia de esta clase de equivalencia no significa entonces que no exista una noción de geometría del espacio-tiempo, sino que simplemente hay que entender la geometría en un sentido relacional. ¡Pero entonces las nociones relacionales de la geometría no son nada nuevo! Rovelli da el ejemplo de Descartes - ver su libro "Gravedad cuántica" - la versión preliminar se puede encontrar en http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf