Teoría de campo conforme de pregunta conceptual simple

Imponer que una acción debe ser conformemente invariante tiene una sutil pero importante diferencia con respecto a imponer que debe ser invariante de difeomorfismo. Permítanme tratar de enfatizar las diferencias entre los difeomorfismos , las transformaciones conformes y las transformaciones de Weyl . También aclararé cómo imponer la invariancia de la acción, es decir, argumentaré si se deben cambiar los campos o las coordenadas.

difeomorfismos

La acción sobre las coordenadas viene dada por una función general diferenciable con inversa diferenciable:$x^\mu \to {x'}^\mu = {x'}^\mu(x)$. La acción sobre campos con spin 0, 1 y 2 es la siguiente

$$\begin{align} \phi(x) &\to \phi'(x') = \phi(x)\,, \\ \partial_\mu\phi(x) &\to \partial'_\mu\phi'(x') = \frac{\partial x^\nu}{\partial{x'}^\mu}\partial_\nu\phi(x)\,, \\ g_{\mu\nu}(x) &\to g'_{\mu\nu}(x') = \frac{\partial x^\alpha}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial {x'}^\nu}g_{\alpha\beta}(x)\,. \end{align}$$ Estas transformaciones son solo cambios de variables, toda teoría es invariante bajo ellas.

Transformaciones de Weyl

Las transformaciones de Weyl no actúan sobre las coordenadas sino que simplemente reescalan los campos

$$\begin{align} \phi(x) &\to \tilde{\phi}(x) = \Omega^{-\Delta}(x)\phi(x)\,, \\ \partial_\mu\phi(x) &\to \partial_\mu\tilde{\phi}(x) = \partial_\mu(\Omega^{-\Delta}(x)\phi(x))\,, \\ g_{\mu\nu}(x) &\to \tilde{g}_{\mu\nu}(x) = \Omega^{2}(x)g_{\mu\nu}(x)\,. \end{align}$$

Transformaciones conformes

Las transformaciones conformes son transformaciones de coordenadas que conservan la métrica hasta un factor de escala, es decir$x^\mu \to {x'}^\mu$y

$$\frac{\partial x^\alpha}{\partial {x'}^\mu}\frac{\partial x^\beta}{\partial {x'}^\nu} g_{\alpha\beta}(x)= \Omega^{-2}(x)g_{\mu\nu}(x)\,.\tag{1}$$ En el ejemplo de OP${x'}^\mu = \lambda x^\mu$y$\Omega(x) = \lambda$. Ahora, este es el punto clave: no queremos imponer que la teoría es invariante bajo este cambio de variables, esto siempre es cierto porque es un caso particular de invariancia de difeomorfismo. En cambio, queremos comparar teorías con la misma métrica. Es decir, siempre imaginamos una transformación conforme como un difeomorfismo que satisface (1) seguido de un cambio de escala de Weyl que cancela el$\Omega$factor. Por lo tanto, las leyes de transformación son $$\begin{align} \phi(x) &\to \tilde{\phi}'(x') = \Omega^{-\Delta}(x)\phi(x)\,, \\ \partial_\mu\phi(x) &\to \partial'_\mu\tilde{\phi}'(x') = \frac{\partial x^\nu}{\partial{x'}^\mu}\partial_\nu(\Omega^{-\Delta}(x)\phi(x))\,, \\ g_{\mu\nu}(x) &\to \tilde{g}'_{\mu\nu}(x') = g_{\mu\nu}(x)\,. \end{align}$$ Con la notación "tilde prima" denoto la composición de las dos últimas transformaciones.

Invariancia de la acción

Considere un Lagrangiano genérico que depende del campo$\phi$, su primera derivada y el tensor métrico. La acción luego dice

$$S = \int d^4x \, \mathcal{L}[g_{\mu\nu}(x),\phi(x),\partial_\mu\phi(x)]\,.$$ La transformación actúa sólo sobre los campos y las hojas.$x$sin cambios ya que es una variable ficticia (integrada). Probar la invariancia del difeomorfismo equivale a requerir $$\begin{align} S &= \int d^4x\, \mathcal{L}\left[g'_{\mu\nu}(x),\phi'(x),\partial'_\mu\phi'(x)\right] = \\ &=\int d^4x'\, \mathcal{L}\left[g'_{\mu\nu}(x'),\phi'(x'),\partial'_\mu\phi'(x')\right] = \\ &=\int d^4x\,|\Omega(x)|^4 \mathcal{L}\left[\Omega^{-2}(x)g_{\mu\nu}(x),\phi(x),\frac{\partial x^\nu}{\partial{x'}^\mu}\partial_\nu\phi(x)\right]\,, \end{align}$$ en el segundo paso acabo de renombrar$x$a$x'$, es una operación trivial. En el último paso utilicé las propiedades de transformación de la medida y de los campos (Ver Di Francesco - Mathieu - Sénéchal por ejemplo).

Un reescalado de Weyl requiere simplemente

$$S = \int d^4x\, \mathcal{L}\left[\Omega^2(x)g_{\mu\nu}(x),\Omega^{-\Delta}(x)\phi(x),\partial_\mu(\Omega^{-\Delta}(x)\phi(x))\right]\,.$$ Finalmente, el requisito de invariancia conforme se puede obtener componiendo las dos transformaciones anteriores $$S = \int d^4x\, |\Omega(x)|^4\mathcal{L}\left[g_{\mu\nu}(x),\Omega^{-\Delta}(x)\phi(x),\frac{\partial x^\nu}{\partial{x'}^\mu}\partial_\nu(\Omega^{-\Delta}(x)\phi(x))\right]\,.$$ Esto es consistente con lo que dice OP. Tenga en cuenta que dado que la invariancia del difeomorfismo siempre es verdadera, basta con probar la invariancia de Weyl. Lo contrario no es obvio y es objeto de investigación actual. Podríamos decir que al imponer la invariancia conforme estamos imponiendo la invariancia de Weyl solo por aquellos$\Omega$eso es lo que hace$g_{\mu\nu}$y$\Omega^2 g_{\mu\nu}$difeomorfo

Creo que en tu caso es mejor ver la transformación conforme de esta manera:

1. No cambias las coordenadas
2. Campo con dimensión conforme$\Delta$se transforma como$\widetilde \Phi = \lambda^{- \Delta} \Phi$
3. Campo$\phi$tiene$\Delta=1$y métricas$g_{\mu\nu}$tiene$\Delta = 2$.

Entonces, partes de la acción cambian tal como lo escribiste, pero por razones diferentes. Cambio de forma de volumen porque$\sqrt{\det \widetilde g} = \sqrt{\det \widetilde g_{\mu\nu}}= \lambda^{4} \sqrt {\det g}$. Derivado$\partial_\mu$no cambia, sin embargo plazo$g^{\mu\nu}$cambia como$\widetilde g^{\mu\nu}=\lambda^{-2}g^{\mu\nu}$. Y el$\phi$escalas de la misma manera.

Esto da el mismo resultado que escribió en su pregunta, pero aquí está más claro que hacemos una transformación física real, no solo un cambio de coordenadas.

En su caso, realiza la transformación conforme como la describí junto con la transformación de coordenadas$x \rightarrow \lambda x$. Todos juntos los campos se transforman como escribiste$dx^\mu \rightarrow \lambda dx^\mu, g_{\mu\nu}\rightarrow g_{\mu\nu}$etc., excepto que la métrica realmente cambia$\widetilde{ ds}^2 = \lambda^2 g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu=\lambda^2 ds^2$.