Teoría cuántica de Yang-Mills y AdS/CFT

En principio sí, pero hay varias cuestiones conceptuales y técnicas que hacen que no quede claro cómo podría lograrse. Aunque se conjetura que la correspondencia AdS/CFT es exacta (con mucha evidencia que sugiere esto), es difícil probar esto esencialmente porque para hacer cálculos, uno todavía tiene que usar aproximaciones y teoría de perturbaciones en un lado u otro. . Esto se debe esencialmente a su naturaleza dual: relaciona una teoría fuertemente acoplada por un lado con una débilmente acoplada por el otro.

Esto se puede entender mucho mejor en términos de las constantes fundamentales de acoplamiento de la teoría: el acoplamiento de cuerdas viene dado por$g_s$y el acoplamiento de Yang-Mills por$g_{YM}$, están relacionados por$g_{YM}^2=4\pi g_s$.

En el lado de la gravedad/cuerdas, los cálculos son factibles (a menos que desee resolver la teoría de cuerdas en fondos curvos, que es esencialmente un problema abierto) en la aproximación de supergravedad de la teoría. Esto es válido si tomamos$g_s\rightarrow0$y también suponga que el grado del grupo de indicadores (el número de colores)$N$se lleva al infinito. Su producto, el acoplamiento 't Hooft$\lambda=g_{YM}^2N=4\pi g_sN$sin embargo, debe mantenerse fijo pero mucho más grande que uno. Para la teoría de Yang-Mills, la teoría de la perturbación es válida justo en el otro extremo del rango de parámetros, es decir, cuando$\lambda$es muy pequeño.

Esto es útil para muchos cálculos, ya que permite trazar la región no perturbativa de una teoría observando la región perturbativa de la otra, pero dificulta probar algo de manera rigurosa, especialmente dentro del enfoque axiomático requerido para la teoría. Solución del problema del Milenio. El requerimiento de grandes$N$restringe aún más la aplicabilidad de la dualidad con respecto a probar algo para el grupo de calibre genérico$SU(N)$.

Aparte de esto, como se menciona en la otra respuesta, la formulación original y más conocida de es, como sugiere el nombre, entre la teoría de cuerdas y una teoría de campo conforme, que por definición no tiene brecha de masa. Para abordar cuestiones como el confinamiento y la brecha de masas asociada, habría que trabajar en otras versiones de la dualidad, por ejemplo, el modelo de Witten, que es$AdS_7\times S^4$, con una dimensión compactada en la$AdS$parte, que rompe la supersimetría e introduce una escala masiva.

Para que quede claro de lo que estamos hablando (ya que no estoy totalmente seguro de que esto sea lo que pretendía la pregunta), hablaré sobre el ejemplo paradigmático de AdS/CFT, la equivalencia entre$\mathcal N=4$Yang-Mills por un lado, y cadena IIB por (asintóticamente)$AdS_5\times S^5$por el otro (en parámetros generales: sin límites de t'Hooft, etc.).

Estamos mucho más cerca de definir rigurosamente el lado izquierdo de esta correspondencia que el lado derecho. Lo que tengo en mente aquí es poner la teoría en una red y tomar algún límite apropiado a medida que el espacio de la red se vuelve pequeño. La dificultad está en probar que esto funciona y da todas las propiedades que esperarías (las simetrías correctas deben restaurarse en el límite, por ejemplo, ya que la red romperá algunas de estas). Por otro lado, creo que es justo decir que no hay una idea clara de cómo sería una formulación de la teoría de cuerdas no perturbativa.

De hecho, es bastante común escuchar algo como "Tome su teoría favorita de la gravedad cuántica, por ejemplo N = 4 Yang-Mills..." con la implicación de que es la teoría del campo 4d la que define la teoría de cuerdas a granel, en lugar de la al revés, como le gustaría sugerir. El desafío aquí es volver a empaquetar las variables CFT para que lo que obtienes tenga cierta semejanza con la gravedad...

Como punto final, en referencia al Premio del Milenio, es que$\mathcal N=4$es cualitativamente diferente de los Yang-Mills ordinarios, en particular siendo conforme, por lo que no hay brecha de masa. La integrabilidad da alguna oportunidad de 'resolver'$\mathcal N=4$, sin referencia a$AdS$, pero esto no le daría un millón de dólares (aunque puede dar una idea de cómo proceder).