Teoría cuántica de campos con (2,2) métrica

Entrometerse con las dimensiones del espacio-tiempo y/o la firma suele ser mucho más problemático de lo que parece. En wikipedia puedes encontrar una discusión aproximada, pero lo primero que viene a la mente es que el principio de Huygens solo es válido en dimensiones espaciales mayores o iguales a 3 e impares.

Ahora, con respecto a su espacio-tiempo 2+2, la situación es mucho peor. Probemos la teoría de campos más sencilla posible, a saber, el campo escalar sin masa. La ecuación debe ser entonces

$(-\partial_t^2-\partial_u^2+\partial_x^2+\partial_y^2)\phi=0$,

donde nombré la dimensión temporal extra$u$. En la teoría de campo usual en 3+1 comenzamos con las soluciones clásicas de la ecuación (en este caso sería solo la ecuación de onda), escribimos la solución general como una suma de términos de Fourier$\sum_k a_k e^{i(kx-\omega t)}$y "promover" los coeficientes a los operadores de escalera$\hat{a}_k$y sus adjuntos.

¿Y en 2+2? Deberíamos intentar lo mismo. Ahora, como se explica en esta respuesta en nuestra contraparte matemática, hay un teorema que establece que las PDE ultrahiperbólicas, como la que le concierne, no están bien planteadas por Hadamard., lo que significa que la solución no existe, no es única o no es estable. La violación de las dos primeras condiciones invalida la expansión de Fourier, y la violación de la estabilidad significa que no existe una teoría de la perturbación significativa, incluso a nivel clásico. La estabilidad también es un problema con respecto a las condiciones iniciales. La falla de la buena postura de Hadamard implica que si cambia las condiciones de contorno por un valor pequeño, entonces las soluciones completas son completamente diferentes de la inicial. Esto invalida todo lo relacionado con la física, ya que hace imposible abordar la precisión finita de los experimentos.

La existencia del 2+2 libre es fácil por separación de variables, aunque no puedo decir lo mismo de la unicidad ya que no he probado, ni he visto probar, la completitud de la base así obtenida. Sin embargo, incluso si pudiera establecerse la unicidad, ciertamente violaríamos la estabilidad, y entonces no seríamos capaces de realizar la teoría de la perturbación como de costumbre.

Estas son las razones por las que no tiene sentido mirar 2+2 espaciotiempos, aunque solo sea desde un punto de vista matemático.