Teorema de Noether, invariancia de energía y tiempo

He estudiado física en la escuela secundaria, pero solo tengo un tipo de comprensión pop-sci de ideas como el teorema de Noether, así que tómalo con calma.

Hasta donde yo sé, el teorema de Noether simplemente establece que cualquier tipo de simetría de un sistema físico está acompañada por una cantidad particular conservada.

El ejemplo normal de esto es que si consideramos que un sistema es simétrico en el tiempo (las leyes que gobiernan el sistema son las mismas en todos los puntos del tiempo), surge la conservación de la energía. Sin embargo, se supone que hay ejemplos de sistemas en los que la energía no se conserva, lo que implica que las leyes que gobiernan el sistema no son simétricas.

Mi problema es con esta idea de que las leyes no son simétricas en el tiempo. ¿Qué significa esto realmente? ¿Significa esto que las leyes literalmente cambian con el tiempo? ¿No es una suposición muy básica para el estudio de la física que las leyes que gobiernan el universo nunca cambian? Si encontramos sistemas donde las leyes cambiaron, ¿cómo podríamos estudiar las leyes?

Creo que mi confusión aquí se debe a un malentendido de lo que significa que un sistema sea simétrico en el tiempo, pero tal vez sea otra cosa. Gracias por cualquier respuesta.

Respuestas (6)

Es un poco más complicado de lo que dices porque el objeto que posee la simetría es la acción del sistema. Las ecuaciones que describen el movimiento, es decir, las leyes de la física para este sistema, se derivan de esta acción utilizando la ecuación de Euler-Lagrange .

Pero podemos describir un ejemplo muy simple. Suponga que está en su nave espacial y planea un sobrevuelo de algún objeto grande, por ejemplo, el Sol. Empiezas lejos del Sol con cierta velocidad. v , y la gravedad del Sol te acelera hacia adentro con la ecuación newtoniana usual para la gravedad:

F = GRAMO METRO metro r 2

Te balanceas hacia el Sol, acelerando a medida que avanzas, luego, a medida que te alejas del Sol nuevamente, su gravedad te frena y te alejas con la misma velocidad. v con el que empezaste. Tu energía cinética no cambia.

Sin embargo, supongamos que resulta que la constante de Newton GRAMO en realidad depende del tiempo y está decreciendo con el tiempo:

F ( t ) = GRAMO ( t ) METRO metro r 2

Eso significa GRAMO , y por lo tanto la fuerza, es menor para su viaje hacia el exterior que para su viaje hacia el interior. Desaceleras menos en tu viaje de ida y te vas con más energía de la que empezaste. La energía no se ha conservado, y es la dependencia del tiempo de GRAMO eso es responsable

No es un buen ejemplo, ya que la pregunta era proporcionar un ejemplo donde la energía no se conserva sin que las leyes de la naturaleza cambien con el tiempo. Hay muchos ejemplos de este tipo que comienzan con la expansión del universo.
@safesphere, ¿hay alguna situación o fenómeno observado/verificado experimentalmente en el que no se obedezca la conservación de energía en el sentido de que se "crea" energía (aparte del hecho de que la densidad de energía oscura/energía de vacío permanece constante a medida que el universo se expande)?
@vengaq La ley fundamental no es la conservación de energía, sino el Principio de Acción Mínima. En pocas palabras, dice que si el tiempo es uniforme, la energía se conserva (el teorema de Noether), porque el tiempo y la energía están relacionados como un par de Fourier. Esto también significa que, si el tiempo no es uniforme, entonces la energía no se conserva, pero siguen siendo un par de Fourier. Entonces, la conservación de la energía puede violarse en la Relatividad General, donde el tiempo no es uniforme, pero el Principio de Acción Mínima siempre es válido. La energía se crea en el Big Bang, porque el tiempo comienza a moverse, pero no se han observado casos de creación de energía.

Cuando consideramos un sistema físico, el entorno denota todo lo demás que no forma parte del sistema.

Si bien el sistema tiene variables dinámicas, que estamos tratando de resolver, las variables del entorno se suponen dadas.

A menudo sucede que el sistema no está aislado y las fuerzas externas del entorno actúan sobre el sistema. Si el entorno está cambiando, estas fuerzas normalmente adquieren una dependencia temporal explícita.

Ejemplo: Sea el sistema físico un niño en un columpio. El entorno puede ser, por ejemplo, un padre empujando el columpio de forma dependiente del tiempo. La energía del niño no necesita ser conservada.

Entonces, la energía no se conserva en un sistema abierto. Esto no es de lo que se trataba la pregunta.

El sistema más simple y común no simétrico debido al cambio de tiempo es simplemente cualquier sistema mecánico con disipación. Por ejemplo, dos ladrillos que se mueven uno sobre otro con fricción. En tales circunstancias, parte de la energía se disipa en calor, lo que no se tiene en cuenta en la descripción mecánica puramente idealista. El sistema como un todo, por supuesto, conserva energía, pero su parte mecánica (descrita a través de la mecánica clásica, que involucra acción, ecuaciones de Lagrangian, Jacobi, etc.) no contiene parte de la descripción que deba llevarse a cabo a través de la termodinámica. En este caso el teorema de Noether no funciona. No hay necesidad de que la Relatividad General Cuántica entienda este ejemplo y, de hecho, sugeriría centrarse más bien en el sistema de dos ladrillos para entender esto.

Esto es incorrecto. El teorema de Noether, así como la ley de conservación de energía, se aplican a sistemas cerrados. Su ejemplo no es un sistema cerrado y no es aplicable aquí. Si hace que su sistema de dos ladrillos sea cerrado, por ejemplo, tratando el calor como energía potencial o como movimiento molecular mecánico, el teorema de Noether funcionaría bien.
Por supuesto, eso incluso incluido en la publicación anterior: lea la tercera y cuarta oración anteriores una vez más. Pero estas son exactamente las causas del efecto que aparece. No se puede dar ejemplo de sistemas físicos cerrados , descritos por la mecánica lagrangiana, energía no conservada. ¿Puede?
Yo creo que tu puedes. Puedo pensar en 3 condiciones necesarias para que esto suceda: el espacio-tiempo es curvo, el sistema no es estático y el movimiento no es reversible. La métrica FLRW debe cumplir. ¿Conserva energía? Es discutible, pero el consenso es que no, ya que la energía perdida por el corrimiento al rojo no es recuperable, porque el movimiento no se puede revertir. Aunque la relación de simetría tiempo-energía permanece (conjugados de Fourier) y la energía sigue siendo una carga de Noether, simplemente no se conserva.
Entonces, básicamente, ¿piensas en un sistema con simetría de cambio de tiempo de una acción, completamente descrito por esta acción, y que no tiene una constante de movimiento relacionada con esta simetría? En este caso, espera encontrar un contraejemplo del teorema de Noether. seria una gran noticia...
Me tomó un minuto ver de dónde viene la confusión, es por mi afirmación de que " la relación de simetría tiempo-energía permanece ". Esto no se refiere a la simetría de la traducción del tiempo, sino a la simetría del tiempo y la energía siendo conjugados de Fourier, ya sea que exista o no la simetría de la traducción del tiempo. En otras palabras, la energía es una carga de Noether relacionada con el tiempo, se conserve o no la energía. Por ejemplo, la energía de un fotón sigue siendo inversamente proporcional al período de tiempo de las oscilaciones EM, incluso si la energía se pierde por el desplazamiento hacia el rojo sin que exista una simetría de traducción de tiempo.

Hay un ejemplo asombroso que muestra el efecto del teorema de Noether: La no conservación de la energía en la Relatividad General. En realidad, requiere la comprensión de esta teoría, pero es tan clara que es muy útil como caso de demostración. El teorema de Noether dice (entre otros) que si en un sistema físico una traslación en el tiempo (cada momento en el tiempo es equivalente a cualquier otro) no cambia el sistema, entonces la energía en este sistema se conserva. Funciona para millones de casos, pero no para la gravitación desde el punto de vista de la teoría de Einstein.

Un campo gravitatorio ya no es invariable bajo traslaciones en el tiempo porque el campo gravitatorio se considera como la curvatura del espacio-tiempo, por lo que el espacio y el tiempo son en general curvos, en particular la curvatura puede cambiar en el tiempo. Entonces, los momentos en el tiempo ya no son realmente equivalentes. Entonces, el teorema de Noether nos dice que la energía no se conserva necesariamente.

Ese podría ser un resultado bastante impactante, pero se puede demostrar fácilmente de otra manera: mediante una transformación de coordenadas, el efecto gravitatorio puede "transformarse" localmente, es decir, eliminarse localmente, por lo que si en un sistema de coordenadas un presupuesto de energía (incluida la energía gravitacional ) del sistema se configura, en el otro sistema, donde el efecto gravitatorio se "transforma" localmente, la energía gravitatoria también se ha ido (por lo que no hay conservación de la energía total). Esta es una consecuencia última del principio de equivalencia.

Si bien esto es cierto, en casi todos los casos este efecto es renormalizable al introducir la "energía potencial gravitatoria" para cualquier proceso reversible en el tiempo. El único efecto verdadero de esta no conservación es cuando el proceso no se puede revertir en el tiempo, como en la expansión del universo. Incluso en este caso la energía sigue siendo la carga de Noether, que no se conserva, porque no podemos introducir la energía potencial global del universo debido a que la expansión no es reversible.

Sí, violar la uniformidad de las leyes en el tiempo (invariancia de traducción del tiempo) significa que las leyes NO son las mismas en diferentes momentos.

Si bien es común en la física suponer que las leyes son constantes en el tiempo, este no tiene por qué ser el caso en principio. Si las leyes cambian de formas particulares, todavía podríamos describir las leyes y calcular sus ramificaciones y, por lo tanto, hacer ciencia.

John Rennie dio un buen ejemplo de esta situación: si la ley universal de la gravedad de Newton realmente dijera F = GRAMO ( 1 + t ) metro 1 metro 2 r 2 , con t el tiempo transcurrido desde el Big Bang (digamos), entonces tendremos una ley física muy específica y podremos determinar sus consecuencias y probarlas con experimentos, etc. Podríamos hacer física, aunque la ley no es invariable en el tiempo.

Ahora, las cosas se complican un poco en la Relatividad General. En GR, lo que es "tiempo" es un poco sutil, por lo que terminas con una teoría cuyas leyes básicas no dependen explícitamente del tiempo (como la t arriba) pero eso aún permite que las leyes efectivas cambien en el tiempo cuando el espacio se está expandiendo. El resultado es un poco complicado en cuanto a si la energía se conserva o no. Depende un poco de lo que definas como 'energía' y, bueno, es un desastre.

Mi problema es con esta idea de que las leyes no son simétricas en el tiempo. ¿Qué significa esto realmente?

Se supone que significa que la función lagrangiana, que codifica las interacciones entre los diferentes grados de libertad del sistema y el entorno, no depende explícitamente del tiempo. Ese suele ser el caso y uno puede verlo como gracias al hecho de que las leyes físicas básicas del movimiento y la interacción de los cuerpos no cambian con el tiempo. Por ejemplo, un Lagrangiano de un cuerpo que orbita alrededor de la Tierra se puede escribir como

L = 1 2 metro ( v X 2 + v y 2 + v z 2 ) + GRAMO METRO metro X 2 + y 2 + z 2 .
El hecho de que la gravedad no cambie con el tiempo implica que GRAMO tampoco cambia en el tiempo; es constante, el mismo número para cualquier momento que usemos la fórmula. Si la gravedad cambiara en el tiempo, el lagrangiano anterior no funcionaría. Otro, donde una parte depende del tiempo podría funcionar.

Pero puede haber otra razón para que el tiempo aparezca en el Lagrangiano.

Por ejemplo, una partícula sobre la que actúa una onda EM se puede modelar mediante un Lagrangiano de tipo

L ( X , X ˙ ) = 1 2 metro X ˙ 2 + q X mi 0 pecado ⁡ ( Ω t ) .

Hay un término dependiente del tiempo debido a la onda EM armónica, porque la onda se da como un proceso en el tiempo. Pero nada implica que las leyes físicas de la teoría EM cambien en el tiempo.

Es simple no es cierto. Simétrico en el tiempo, significa exactamente lo que se dice: cuando cambia el tiempo, la acción funcional no cambia. ¡Está lejos de decir que el Lagrangiano no depende del tiempo! Lagrangiana independiente en el tiempo es solo un ejemplo particular, pero puede serlo, en general. Especialmente dado que la acción es integral en el tiempo, es posible que los términos de frontera se cancelen, incluso si el Lagrangiano contiene explícitamente la función de t. Piense en ello como un grupo continuo de simetría, al igual que la simetría de traslación continua, pero solo en t.
Kakaz, quizás tengas razón. ¿Tiene algún ejemplo en el que Lagrangian dependa no trivialmente del tiempo (de una manera que no es posible eliminar restando una función de tiempo y coordenadas), pero aún así la acción no depende del tiempo?
No es facil. Primero, si el Lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, lo mismo ocurre con las ecuaciones de movimiento. Este tipo de ecuaciones se denominan autónomas. Entonces, si estamos buscando un ejemplo, debería ser un sistema no autónomo de pde. En segundo lugar, es difícil decir si las cantidades conservadas para tales sistemas pueden llamarse energía o momento, sin embargo, pueden estar relacionadas con varios grupos de simetría que para los sistemas autónomos nos dan tales invariantes. En otras palabras, estamos hablando de una generalización audaz.
Un ejemplo explícito e invariable de dicho sistema lo encontrará al final de este artículo: fismat.unizar.es/~jfc/pdfs/pub62.pdf Como puede ver, y probablemente lo esperaba, es difícil de leer. Otra observación importante aquí es que si reemplazamos la £ lagrangiana original, independiente del tiempo, por £' = £ + π donde π es la derivada completa en el tiempo de alguna función de (p,q,t), entonces la integral de acción no cambia, por lo que probablemente por truco inteligente, puede producir Lagrangian dependiente del tiempo que, de hecho, sería una especie de ejemplo falso ...
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