Si n−1n−1n-1 es f(n)f(n)f(n)-suave, nnn es primo infinitamente a menudo. Cual es el mejor fff?

Si$n-1$es$f(n)$- suave ,$n$es primo infinitamente a menudo. Que es lo mejor$f$?

Para todos los números primos$p$,$p-1$es$\frac{p}{2}$-suave, tan$f(n) = \frac{n}{2}$obras.

Si$q$es un primo de Fermat, entonces$q-1$es$2$-liso. Como no podemos demostrar que hay un número finito de números primos de Fermat, es posible que$f(n) = 2$obras.

¿Se puede establecer con certeza algo intermedio?

yo considere$f(n) = \sqrt{n}$. El tipo más simple de$\sqrt{n}$-el número liso es un cuadrado, y como no sabemos si hay un número infinito de primos de la forma$k^2+1$estamos en la misma situación que con los números primos de Fermat. No estoy seguro de cómo abordar el caso cuando$n-1$es$\sqrt{n}$-liso pero no cuadrado.

Siento que debería ser posible probar esto para$f(n)=\frac{n}{\log{n}}$(hay un número infinito de números primos$p$dónde$p-1$es$\frac{p}{\log p}$-liso). ¿Cómo se puede mostrar esto? ¿Qué es lo mejor que se conoce?

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