entropía de una cadena molecular larga con respecto a su longitud

Considere una cadena unidimensional (muy larga) de norte moléculas, que pueden estar en cualquiera de los estados de energía α o β . Las configuraciones tienen longitud a o b respectivamente.

Demuestre que la entropía de la cadena con respecto a la longitud L de la cadena es

S ( L ) = norte en ⁡ norte − norte α en ⁡ norte α − norte β en ⁡ norte β
dónde norte α = ( L − b norte ) / ( a − b ) es el número de moléculas en estado α y norte β = ( L − a norte ) / ( b − a ) es el número de moléculas en estado β . (Utilice la fórmula de Sterling).

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He estado pensando en este ejercicio por un tiempo y no puedo combinar la longitud de la cadena y el número de microestados.

si tenemos norte α moléculas en estado α y norte β en estado β tenemos

Ω ( norte α , norte β , norte ) = norte ! norte α ! norte β !
microestados. Pero no sé cómo pasar de esto a una entropía que depende de la longitud de toda la cadena.

Supongo que solo tengo que sustituir norte α y norte β por las expresiones dadas arriba, pero realmente no entiendo por qué cuentan el número de moléculas en estado α y β respectivamente. ¿Quizás alguien pueda ayudarme con esto? ¡Gracias!

La energía total de la molécula debe ser fija. Esto significa que n_alpha y n_beta se mantendrán constantes. Puede ver fácilmente que cualquier longitud tiene un único n_alfa y n_beta, por lo que la entropía puede tomarse como una función de L. En general, si hubiera estados adicionales gamma, delta, etc. y n_gamma, n_delta, etc., esta lógica sería no necesariamente trabajo, podría tener que la misma longitud podría ser realizada por estados con diferente energía total. Entonces, en general, la entropía para un sistema cerrado es una función de la energía, en este caso puedes tomarla como una función de la longitud L.
Bien gracias. Tu respuesta realmente me ayudó a entender por qué está bien asumir que la cadena tiene una longitud fija. ¡Me seguía preguntando por qué podemos suponer que n_alpha y n_beta son números fijos! Sin embargo, lo que todavía no entiendo es por qué la cantidad de moléculas en cada estado se puede calcular mediante las fórmulas mencionadas para n_alpha y n_beta.

Respuestas (1)

Ya que tienes la expresión de Ω tu trabajo está casi terminado. Primero, recuerde que la entropía para un sistema micro-canónico (energía fija) en equilibrio térmico viene dada por la famosa fórmula de Boltzmann:

S = k B yo norte ( Ω )

Luego, simplemente use la aproximación de Stirling para evaluar yo norte ( norte ! ) ≈ norte yo norte ( norte ) − norte (porque norte >> 1 , es decir, cadena muy larga). simplificar el uso norte = norte α + norte β y está hecho

Para expresar norte α y norte β como funcion de L , recordar que L = norte α a + norte β b y norte = norte α + norte β (resuelve el sistema).

Wow, esto es mucho más fácil de lo que pensaba. Ni siquiera pensé en poner las condiciones para norte α y norte β en un sistema lineal. ¡Muchas gracias!
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