Derivación del valor esperado de la densidad de partículas para interacciones por pares entre partículas

mi pregunta es porque es$<\hat{n}(\vec{r})>=n$

yo tengo el hamiltoniano$H_N= \sum_{i}^{N} \frac{P_i^2}{2m}+U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})$dónde$U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})= \frac{1}{2!}\sum_{i\neq j}^{N} U_2(\vec{R_i},\vec{R_j})$es un potencial de interacción por pares.

Al usar esto, puede obtener la función de partición$Z=\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} (\prod_{i=1}^N[\int d^{d} \vec{R_i}])e^{- \beta U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})}$

De ella si tomas la densidad en la posición$\vec{r}$ser$\hat{n}(\vec{r})= \sum_{i=1}^N \delta^{d}(\vec{r}-\vec{R_i})$se supone que debes conseguir$<\hat{n}(\vec{r})>=n$. cuando me conecto$\hat{n}(\vec{r})$Parece que no puedo derivar este resultado.

Cuando lo intento obtengo$<\hat{n}(\vec{r})>=\frac{1}{\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} (\prod_{i=1}^N[\int d^{d} \vec{R_i}])e^{- \beta U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})}}*\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} (\prod_{i=1}^N[\int d^{d} \vec{R_i}])\sum_{i=1}^N \delta^{d}(\vec{r}-\vec{R_i})e^{- \beta U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})} \rightarrow\frac{1}{\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} (\prod_{i=1}^N[\int d^{d} \vec{R_i}])e^{- \beta U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})}}*\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} e^{- \beta U(\vec{r},\vec{r},..,\vec{r})}$

Aquí es donde estoy atascado. Parece que no puedo averiguar a dónde ir después de integrar la función delta para obtener$<\hat{n}(\vec{r})>=n$

Gracias.