¿Por qué los electrones se tratan clásicamente en las mediciones de ciclotrón?

Antes de abordar su pregunta, hay un punto en el que no estoy de acuerdo con la respuesta de Orca que me gustaría discutir:

Comenzaré con la parte 2 de tu pregunta sobre las ondas planas. El uso de este Ansatz es la primera pista de que en realidad está tratando la situación de forma mecánica cuántica, pero terminando con un resultado que coincide exactamente con el resultado clásico.

el ansatz$v=v_0 \mathrm e^{-i\omega t}$ no tiene nada que ver con la Mecánica Cuántica . De hecho, la resonancia del ciclotrón se puede entender muy bien en el marco del Modelo Drude , que es de 1900 (antes de que naciera QM). De hecho, el uso de este ansatz está relacionado con un teorema matemático , sin conocimiento físico alguno:

Teorema : la solución general de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son siempre exponenciales. Ver Ecuación diferencial lineal para la prueba. Esto significa: como tu ecuación de movimiento es lineal, sabes que la solución es exponencial. Esto es todo lo que hay: el ansatz$\mathrm e^{-i\omega t}$no tiene explicación física.

Para ilustrar mi punto, consideremos un término de amortiguamiento diferente, donde la física es la misma pero las matemáticas son diferentes:

$$m\mathbf{\dot{v}} = -e\mathbf{v} \times \mathbf{B} - \alpha\ v^2\hat{\mathbf{v}} \quad \text{with} \quad \alpha\in\mathbb R$$ En este caso, también tienes un término de fricción, que ahora es cuadrático. Como esta ecuación no es lineal, no puede usar el ansatz exponencial. En este caso, $v\neq \mathrm e^{-i\omega t}$, a pesar de que la física es esencialmente la misma.

Un segundo punto en el que no estoy de acuerdo con Orca está en la declaración

Para empezar, tomaré el caso simple de un electrón libre de momento...

Al usar una partícula libre, está descuidando el punto más importante de su pregunta : ¿por qué podemos tratar a los electrones como libres, cuando en realidad están inmersos en una red? Una vez que sabemos que los electrones se comportan como libres, podemos estudiarlos mecánicamente cuántica o clásicamente, dependiendo de la temperatura, densidad del portador, energía cinética, etc. Orca tiene razón en que tanto QM como CM están de acuerdo en su predicción para partículas libres, pero nosotros debo argumentar por qué se nos permite tratar a los electrones como libres para empezar .

Esto se responde en cualquier buen libro sobre Física del Estado Sólido, por lo que no explicaré los detalles aquí, pero en pocas palabras, la conclusión es que (debido al Teorema de Bloch, o$k\cdot p$teoría, etc.) sabemos que el hamiltoniano efectivo, una vez que "integramos" la interacción de los electrones con la red, es cuadrático en$\boldsymbol k$. Por lo tanto, los electrones se comportan como partículas libres, donde definimos la masa efectiva como el parámetro que aparece en este hamiltoniano efectivo:

$$H_\text{eff}\equiv\frac{\boldsymbol k^2}{2m^*}+\cdots$$ donde esta relación define $m^*$. Esto significa que el efecto de la red sobre los electrones es hacerlos moverse como partículas libres con diferente masa.

O dicho de otra manera: para la mayoría de los materiales, la estructura de la banda es aproximadamente parabólica. Si buscas band structureen google verás que la energía parece una parábola, es decir,

$$H\approx a\boldsymbol k^2+\mathcal O(k^3)$$ donde la aproximación se mantiene mejor si la excitación no es demasiado alta (es decir, no estamos lejos de los mínimos de estas parábolas). Esto no siempre es cierto: en algunos materiales, como el grafeno, la estructura de la banda parece $|\boldsymbol k|$en vez de $\boldsymbol k^2$(google Dirac cones).

Cuando$H= a \boldsymbol k^2+\cdots$podemos definir$a=\frac{1}{2m^*}$para un determinado parámetro$m^*$con unidades de masa. Con esta definición, el hamiltoniano parece el hamiltoniano de una partícula libre aunque en realidad no lo sea. Los electrones no son libres -de hecho, en general están fuertemente ligados- pero si aproximas la energía con una parábola, el espectro se parece al de una partícula libre, pero con una masa diferente.

Tenga en cuenta que la estructura de la banda puede calcularse teóricamente y medirse experimentalmente, y la mayoría de las veces parece parabólica. Esto significa que la "aproximación efectiva de partículas libres" está muy bien justificada, tanto por la teoría como por los experimentos. Una vez que sabemos que los electrones pueden ser tratados como libres, podemos preguntarnos si necesitamos usar la Mecánica Cuántica para estudiar su dinámica, o podemos usar la Mecánica Clásica para obtener una descripción aproximada. La buena respuesta de Orca demuestra que en realidad ambos métodos concuerdan, por lo que podemos usar el que más nos guste.

Hay algo extraño acerca de los campos magnéticos y la Mecánica Cuántica: muy a menudo obtenemos la misma predicción si usamos la Mecánica Clásica o (la teoría de la perturbación de primer orden de) la Mecánica Cuántica. Por ejemplo, el efecto Zeeman se puede estudiar tanto con CM como con QM.

De todos modos, para responder a sus preguntas:

¿Por qué se permite físicamente suponer que el electrón puede tratarse de forma clásica? ¿Cuál es la idea clave detrás de esta aproximación en tales contextos?

En este caso, se permite la aproximación porque la temperatura es tal que$kT\gg \hbar\omega_c$, dónde$\omega_c$es la frecuencia del ciclotrón. Por lo tanto, los niveles de Landau$n_c$están muy emocionados,$n_c\to\infty$, lo que significa que el sistema es esencialmente clásico. Esto no siempre es cierto: por ejemplo, para medir el momento magnético de los electrones en una trampa de Penning, utilizan un fuerte campo magnético y una temperatura muy baja tal que$kT\sim\hbar\omega_c$. En este caso, los efectos cuánticos no son despreciables y no podemos usar CM. pero a medida$m^*$usamos altas temperaturas por lo que podemos asumir que la dinámica es clásica.

es el ansatz$v=v_0\; \mathrm e^{-i\omega t}$¿Una buena elección aquí porque estamos tratando al electrón de forma clásica o hay otra razón subyacente no relacionada?

Como dije anteriormente, la razón es matemática: no tiene nada que ver con QM ni con ninguna otra razón física. Es simplemente porque la ecuación diferencial es lineal.

¡Podemos tratar este sistema de forma clásica porque es una de esas situaciones agradables en las que el tratamiento de la mecánica cuántica produce los mismos resultados!

Comenzaré con la parte 2 de tu pregunta sobre las ondas planas. El uso de este Ansatz es la primera pista de que en realidad está tratando la situación de forma mecánica cuántica, pero terminando con un resultado que coincide exactamente con el resultado clásico .

Básicamente lo que estamos haciendo cuando representamos una función de onda de la mecánica cuántica$\psi({r})$como una onda plana$\psi({r}) = e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}/\hbar}$está tratando un solo componente de su transformada de Fourier ,

$$\begin{equation} \psi{(\mathbf{p})}=\int{d^3\mathbf{p} \: e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}/\hbar} \: \psi{(\mathbf{r})}}. \end{equation}$$

Esto es matemáticamente mucho más fácil de hacer que tratar todo el paquete de ondas, y dado que los operadores de la Mecánica Cuántica son lineales, el comportamiento de la onda plana bajo sus operadores nos dice el comportamiento de la función de onda completa cuando sumamos todas las ondas planas bajo la integral.

Además, siempre podemos hacer esto, ya que la integrabilidad cuadrada , es decir,

$$\begin{equation} \int^{\infty}_{-\infty}{d^3\mathbf{r} \: |\psi(\mathbf{r})|^2}< \infty \end{equation}$$

es un requisito suficiente para que exista la transformada de Fourier de una función, y obviamente esto debe ser cierto en Mecánica Cuántica, ya que la LHS de la desigualdad representa la probabilidad de encontrar nuestra 'partícula' en cualquier parte del espacio, y por lo tanto debe ser igual$1$.

Esta es la razón subyacente por la cual el uso de ondas planas es omnipresente en la Mecánica Cuántica. Es fácil y funciona.

En tu caso, has escrito$v(t) = v_0 e^{-iEt+i\mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}$dónde$v_0$es la velocidad clásica (la velocidad del punto medio del paquete de ondas de la mecánica cuántica), obtenida tomando la FT de$p_x \psi(\mathbf{r}) = \partial_x \psi(\mathbf{r})$, integrando por partes bajo la integral de Fourier y despreciando los términos de contorno, para obtener

$$\begin{equation} \int{d^3\mathbf{p} \: p_x e^{-i\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}/\hbar} \: \psi{(\mathbf{r})}}. \end{equation}$$

que podemos entonces interpretar clásicamente como$mv_0$.

Ahora para la resonancia de ciclotrón en Mecánica Cuántica.

Para empezar, tomaré el caso simple de un electrón libre de momento$\mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z)$en un campo magnético a lo largo del eje z,$\mathbf{B}=(0,0,B)$. Podemos tratar esto mecánicamente cuánticamente ajustando la medida del potencial del vector electromagnético a la medida de Landau

$$\begin{equation} \mathbf{A} = (-By,0,0) \end{equation}$$

Dónde$\nabla \times \mathbf{A}=\mathbf{B}$. La ecuación de Schroedinger en este indicador se puede escribir tomando el momento canónico$\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p}-q\mathbf{A}$en este calibre para que

$$\begin{equation} H \psi (\mathbf{r}) = \frac{\hbar^2}{2m}[(p_x+qBy)^2+p_y^2+p_z^2] \psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) \end{equation}$$

Este hamiltoniano conmuta claramente con ambos$p_x$y$p_z$que por lo tanto son cantidades conservadas y por lo tanto comparten un conjunto de estados propios. Tomando nuestro Ansatz de onda plana, el$x$y$z$las piezas se pueden conmutar$H$, así que permanece como$e^{i(p_x x + p_z z)/\hbar}$, mientras que la$y$parte, que podemos llamar$\chi(y)$, ahora obedece a la nueva ecuación

$$\begin{equation} \Big[\frac{p_y^2}{2m} + \frac{p_z^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega_c^2 \Big(y+\frac{p_x}{qB}\Big)^2 \Big] \chi(y) = E\chi(y), \end{equation}$$

dónde$\omega_c = |q|B/m$, la frecuencia del ciclotrón clásico .

Podemos extender este argumento a campos eléctricos y magnéticos cruzados introduciendo un potencial eléctrico$\phi = -Ey$por lo que tenemos un campo eléctrico$\mathbf{E} = (0,E,0)$en el$y$-dirección, y el hamiltoniano se convierte en

$$\begin{equation} H = \frac{\hbar^2}{2m}[(p_x+qBy)^2+p_y^2+p_z^2] + qEy \end{equation}$$

Donde todavía podemos usar el mismo Ansatz$e^{i(p_x x + p_z z)/\hbar}\chi(y)$ya que H todavía conmuta con$p_x$y$p_z$. Con esta sustitución encontramos que podemos reorganizar de nuevo a la forma de ciclotrón que teníamos antes, si cambiamos a un marco en el que$p_x \rightarrow p_x + mE/B$. Eso es:

$$\begin{equation} \Big[\frac{p_y^2}{2m} + \frac{p_z^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega_c^2 \Big(y+\frac{p_x-mE/B}{qB}\Big)^2 \Big] \chi(y) = E\chi(y), \end{equation}$$

Por lo tanto, esto predice una 'velocidad de deriva' adicional en el$x$-dirección de

$$\begin{equation} p_x = \frac{mE}{B}, \end{equation}$$

que podemos interpretar para el caso clásico de$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$como una velocidad real de 'deriva' (nuevamente la 'velocidad' del centro del paquete de ondas de la mecánica cuántica),

$$\begin{equation} v_x = \frac{E}{B}. \end{equation}$$

Esto corresponde nuevamente, exactamente a lo que obtendría al usar la ecuación de fuerza clásica de Lorentz ,$\mathbf{F} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})$.

Entonces podemos introducir dieléctricos con tiempos de relajación dados$\tau$como en tu pregunta.

Nota sobre la presencia de$\hbar$: Observe aquí que cuando llegamos a la ecuación de movimiento de la ecuación de Schroedinger, el$\hbar$factores se cancelan, haciendo que nuestro resultado sea independiente de$\hbar$para que no necesitemos tomar el límite clásico habitual$\hbar \rightarrow 0$. Esto no es cierto en todas las situaciones, y es lo que hace que esta situación sea especial.

El ciclotrón clásico con frecuencia de aceleración constante no es adecuado para velocidades relativistas porque la frecuencia de resonancia del ciclotrón de la partícula disminuye mientras que la masa relativista aumenta 1 .

Esto implica que las partículas aceleradas en un ciclotrón clásico podrían tratarse clásicamente.