Potencial eléctrico de una esfera dado campo eléctrico

Además de la respuesta de BMS, quiero señalar la parte de integración, como he visto, en los comentarios, tiene algunos problemas en la parte de integración.

Primero deberías haber escrito los vectores unitarios en la expresión del campo eléctrico.

Los campos eléctricos son

$\vec{E}_{\text{in}}(\vec{r})=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}r\hat{r}$y$\vec{E}_{\text{out}}(\vec{r})=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat{r}$ $\ $(obviamente, el campo eléctrico es radialmente hacia afuera debido a la simetría de simetría esférica)

$\vec{E}=-\vec{\nabla}\phi$

$\vec{E} \cdot d\vec{r}=-\vec{\nabla}\phi \cdot d\vec{r}= -d\phi$

$\int_\vec{a}^\vec{r}\vec{E} \cdot d\vec{r}=-\int_\vec{a}^\vec{r}d\phi$

$\phi(\vec{r})-\phi(\vec{a})=-\int_\vec{a}^\vec{r}\vec{E} \cdot d\vec{r}$

de muchos caminos posibles, vamos a tomar nuestro camino radialmente, debido a la naturaleza conservadora del campo eléctrico. entonces$d\vec{r}= d(r \hat{r})=dr \hat{r}$, desde$\hat{r}$permanece igual a lo largo de la dirección radial, tenemos$d\hat{r}$=0. Este no sería el caso si hubiéramos tomado cualquier otro camino entre los puntos$\vec{a}$y$\vec{r}$.

entonces,$\int_\vec{a}^\vec{r}\vec{E_{in}} \cdot d\vec{r}=\int_\vec{a}^\vec{r}\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}r\hat{r} \cdot dr \hat{r}=\int_\vec{a}^\vec{r}\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}r dr=\int_a^r\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^3}r dr$

ver en el último paso el signo del vector se ha eliminado porque la integración depende solo de r, pero no de ($\theta,\phi$).

entonces,$\int_\vec{a}^\vec{r}\vec{E_{in}} \cdot d\vec{r}=\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} -\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}$

entonces,$\phi_{in}(\vec{r})-\phi_{in}(\vec{a})=-(\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} -\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3})=-\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} +\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}$ $\phi_{in}(\vec{r})=-\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} +\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}+\phi_{in}(\vec{a})$

$\phi_{in}(\vec{r})=-\dfrac{Qr^2}{8\pi \epsilon_0 R^3} +C1$

donde C1=$\dfrac{Qa^2}{8\pi \epsilon_0 R^3}+\phi(\vec{a})$

Nota: Creo que tienes algún problema con el análisis vectorial. Puede consultar el "Análisis vectorial (esquema de Schaum) de Spiegel". Es un libro excelente.

Realmente no sé qué son estas integrales.

Este tema parece muy amplio, y no sé qué quiere decir realmente esta declaración. Tal vez la información a continuación ayude.

Creo que mi profesor pretendía que esto fuera un ⋅ en las integrales, pero se las ha perdido.

Acordado. Solo mire la definición del potencial eléctrico para ver esto.

No sé [...] cómo se siguen de la ecuación anterior.

Voy a esbozar brevemente los pasos generales. Lo esencial es mejor dejarlo para una pregunta más enfocada.

Queremos evaluar la integral de línea.

$$\phi\equiv-\int \vec E \cdot d \vec s$$ a lo largo de algún camino, que normalmente está etiquetado $C$. (Verá subíndices en la integral que indican esto a veces, como $\int_C$.) Una pregunta común al aprender esto es preguntar qué camino? La respuesta es cualquier camino desde un punto de referencia arbitrario (que elijas) hasta el punto $(x,y,z)$en el que desea evaluar el potencial. A menudo, las personas eligen el infinito como punto de referencia, lo que significa que los físicos normalmente escribirían algo como $r=\infty$como límite inferior. Ahora, no tienes que hacer esa elección. Si hace una elección diferente para el punto de referencia arbitrario y luego compara su resultado final para el potencial con el resultado de otra elección, encontrará que los resultados difieren solo en un valor constante.

Eso es bastante sorprendente. (Pruébelo para convencerse a sí mismo). Ahora, una forma realmente inteligente de hacer estas integrales de línea para el potencial es simplemente escribir la integral indefinida y colocar la constante de integración al final. Eso es lo que hizo tu instructor.

Otra forma de ver por qué esto funciona es recordar que, al final, normalmente estamos más interesados ​​en el campo eléctrico.$\vec E=-\vec \nabla \phi$. Entonces, ¿a quién le importa cuál es la constante de integración? Desaparece cuando tomas la derivada.

No puedo entender de dónde vienen estas integrales (es decir, por qué dan el potencial), qué significan estas integrales

Vienen de la definición del potencial eléctrico.$\phi$. Nada mas. La frase potencial eléctrico significa$-\int \vec E \cdot d\vec s.$

En cuanto a lo que significa tal integral , no mucho. Pero las diferencias en el potencial eléctrico (también conocido como voltaje o diferencia de potencial eléctrico ) te dicen algo similar a la energía potencial por unidad de carga. Hay muchos recursos en línea o en su libro de texto que explican este punto.