Densidad hamiltoniana del campo clásico de Klein-Gordon

Me estoy abriendo camino a través de la sección 2.2 de Peskin y Schroeder y tratando de mostrar que$T^{00}$es equivalente a la expresión$\frac{1}{2}\pi^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$en la ecuación (2.8) como sugiere.

De$T^\mu_{\;\;\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\partial_\nu - \mathcal{L}\delta^\mu_{\;\nu}$, Yo obtengo:

$\begin{equation} T^\mu_{\;\;\nu} = \frac{1}{2}\partial^\mu\phi\partial_\nu\phi - \mathcal{L}\delta^\mu_{\;\nu} \end{equation}$

y de ahí:

$\begin{equation} T^{00} = T^0_{\;\;0} = \frac{1}{2}\partial^0\phi\partial_0\phi - \mathcal{L}\delta^0_{\;0} \end{equation} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}[\partial_0\phi^2-\partial_1\phi^2-\partial_2\phi^2-\partial_3\phi^2] + \frac{1}{2}m^2\phi^2$

Parece que tengo un extra$-\frac{1}{2}\dot\phi^2$en mi resultado. ¿Cometí un error en alguna parte?