Formalismo hamiltoniano del campo vectorial masivo

Question

Formalismo hamiltoniano del campo vectorial masivo

Moeman

Actualmente estoy trabajando en un problema relacionado con el campo vectorial masivo. Entre otras cosas, ya he calculado las ecuaciones de movimiento a partir de la densidad lagrangiana

L = - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} + \frac{1}{2} {metro}^{2} A^{m} A_{m},

$\mathcal{L} = - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \frac{1}{2} m^2 A^\mu A_\mu,$ dónde

F_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ , que son

\begin{aligned} \partial_{m} F^{m v} + {metro}^{2} A^{v} = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0. \end{align}$ Aquí la convención de signos es

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ .

Luego, el problema me lleva a través de algunos cálculos para terminar con un hamiltoniano. Básicamente se define el momento canónico y de las ecuaciones de movimiento se sigue que $A^0 = \frac{1}{m^2} \partial_i \Pi_i$ (donde de aquí en adelante se utiliza la convención de suma para índices repetidos independientemente de su posición). Básicamente esto significa que $A^0$ no es una variable dinámica y puede eliminarse en términos de $\Pi_i$ . Al usar esto y el hecho de que $\Pi_i (x) = \partial_0 A^i (x) + \partial_i A^0 (x)$ , se puede encontrar el siguiente hamiltoniano:

\begin{aligned} H = \int d^{3} \vec{X} H = \int d^{3} \vec{X} (\frac{1}{2} Π_{i} Π_{i} + \frac{1}{2 {metro}^{2}} \partial_{i} Π_{i} \partial_{j} Π_{j} + \frac{1}{2} \partial_{i} A^{j} (\partial_{i} A^{j} - \partial_{j} A^{i}) + \frac{{metro}^{2}}{2} A^{i} A^{i}) . \end{aligned}

$\begin{align} H = \int d^3 \vec{x}\; \mathcal{H} = \int d^3 \vec{x}\; \left(\frac{1}{2} \Pi_i \Pi_i + \frac{1}{2m^2} \partial _ i \Pi_i \partial _j\Pi_j + \frac{1}{2} \partial_i A^j (\partial_i A^j - \partial_j A^i ) + \frac{m^2}{2} A^i A^i \right). \end{align}$

Para resumir: ahora se supone que debo calcular las ecuaciones de movimiento hamiltonianas a partir de esto y mostrar que conducen a las mismas que obtuve del lagrangiano.

Ahora bien, no me queda claro qué forma deberían tener aquí las ecuaciones de movimiento hamiltonianas. La forma en que están escritas en Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_field_theory ) con solo las derivadas de tiempo en el lado izquierdo no conducirá a las mismas ecuaciones de movimiento, ¿verdad?

EDITAR: Gracias a la respuesta de GRrocks, creo que lo tengo ahora.

\begin{aligned} - \partial_{0} Π^{k} & = - \partial_{0} (\partial_{0} A^{k} + \partial_{k} A^{0}) = \frac{d H}{d A^{k}} = \\ = {metro}^{2} A^{k} - \frac{1}{2} \partial_{i} \partial_{i} A^{k} - \frac{1}{2} \partial_{i} \partial_{i} A^{k} + \frac{1}{2} \partial_{j} \partial_{k} A^{j} - \frac{1}{2} \partial_{j} \partial_{k} A^{j} = \\ = {metro}^{2} A^{k} - \partial_{i} \partial_{i} A^{k} + \partial_{j} \partial_{k} A^{j} \end{aligned}

$\begin{align} -\partial_0 \Pi^k & = - \partial_0 \left(\partial_0 A^k + \partial_k A^0 \right) =\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta A^k} = \\ &= m^2 A^k - \frac{1}{2} \partial_i \partial_i A^k - \frac{1}{2}\partial_i \partial_i A^k + \frac{1}{2} \partial_j\partial_k A^j - \frac{1}{2} \partial_j\partial_k A^j = \\ &= m^2 A^k - \partial_i \partial_i A^k + \partial_j\partial_k A^j \end{align}$ y entonces

\begin{aligned} \partial_{0} \partial_{0} A^{k} - \partial_{i} \partial_{i} A^{k} + {metro}^{2} A^{k} + \partial_{0} \partial_{k} A^{0} + \partial_{i} \partial_{k} A^{i} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \partial_0 \partial_0 A^k - \partial_i \partial_i A^k + m^2 A^k + \partial_0 \partial_k A^0 + \partial_i \partial_k A^i = 0 \end{align}$ que es de hecho igual a las ecuaciones de movimiento de Lagrange. Mi pregunta ahora es cuáles son las ecuaciones

\partial_{0} A^{i} = \frac{δ H}{δ Π_{i}}

$\partial_0 A ^i = \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \Pi_i}$ son si ya obtengo las ecuaciones de movimiento lagrangianas completas con

- \partial_{0} Π^{k} = \frac{δ H}{δ A^{k}}

$-\partial_0 \Pi^k =\frac{\delta \mathcal{H}}{\delta A^k}$ . ¿Qué me estoy perdiendo?

Respuestas (2)

Formalismo hamiltoniano del campo vectorial masivo

GRrocks · Answer 1

Sugerencia: las ecuaciones de movimiento de Hamilton aquí son exactamente las mismas que en la mecánica clásica, con derivadas ordinarias reemplazadas por derivadas funcionales.

Esto se debe a que, en general, el hamiltoniano (no la densidad hamiltoniana) $H(t)=H[\psi(\cdot,t),\dot{\psi}(\cdot,t)]$ es un funcional de los campos y momentos conjugados en un segmento de tiempo dado, y en ese segmento de tiempo , los campos y los momentos obedecen a la relación de paréntesis de Poisson (léase: conmutador) familiar de la mecánica clásica (donde el $H=H(q,p)$ es solo una función ). estas coordenadas $q,p$ se promueven a campos en QFT y, por lo tanto, los derivados se convierten en derivados funcionales.

Entonces, simplemente tome las derivadas funcionales del hamiltoniano que ha escrito y póngalas en la versión derivada funcional de las ecuaciones clásicas ( $\partial H/\partial p=\dot{q}$ etc)

Así que básicamente debería ser $\partial_0 A^i = \frac{\delta \mathcal{H}}{\delta \Pi_i} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \Pi_i } - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial(\partial_\mu \Pi_i)} \right)$ para el primero, ¿verdad?

qmecanico · Answer 2

No hay necesidad de eliminar la $A_0$ campo $^1$ . En pocas palabras, la densidad lagrangiana hamiltoniana $^2$

\begin{matrix} (1) & \begin{array}{ccc} L_{H} = \vec{Π} \cdot \dot{\vec{A}} - H & \overset{\vec{Π}}{⟶} & L = - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} - \frac{1}{2} {metro}^{2} A_{m} A^{m} \\ ↓ A_{0} & ↓ A_{0} \\ L_{H}^{R} = \vec{Π} \cdot \dot{\vec{A}} - H^{R} & \overset{\vec{Π}}{⟶} & L^{R} = \frac{1}{2} {\dot{A}}_{i} (d^{i j} + \frac{\partial^{i} \partial^{j}}{{metro}^{2} - \nabla^{2}}) {\dot{A}}_{j} - \frac{1}{2} {\vec{B}}^{2} - \frac{1}{2} {metro}^{2} {\vec{A}}^{2} \end{array} \end{matrix}

$\begin{array}{ccc} {\cal L}_H~=~\vec{\Pi}\cdot\dot{\vec{A}} - {\cal H}&\stackrel{\vec{\Pi}}{\longrightarrow} & {\cal L}~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\frac{1}{2}m^2 A_{\mu}A^{\mu} \cr\cr \downarrow A_0& &\downarrow A_0\cr\cr {\cal L}^R_H~=~\vec{\Pi}\cdot\dot{\vec{A}} - {\cal H}^R&\stackrel{\vec{\Pi}}{\longrightarrow} & {\cal L}^R~=~\frac{1}{2}\dot{A}_i\left(\delta^{ij}+\frac{\partial^i \partial^j}{m^2-\nabla^2} \right)\dot{A}_j-\frac{1}{2}\vec{B}^2-\frac{1}{2}m^2\vec{A}^2 \end{array} \tag{1}$ porque la teoría real de Proca se reduce a su contraparte lagrangiana (hasta términos derivados totales) cuando uno integra/elimina los momentos

\vec{Π}

$\vec{\Pi}$ . Por lo tanto, las MOE hamiltonianas y lagrangianas deben estar de acuerdo, incluso después de eliminar el

A_{0}

$A_0$ campo. Además, el diagrama (1) conmuta ya que el orden de eliminación no debería importar. En la ec. (1) la densidad hamiltoniana es

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} H = & \frac{1}{2} {\vec{Π}}^{2} + \frac{1}{2} {\vec{B}}^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} A_{m} A^{m} - A_{0} \vec{\nabla} \cdot \vec{Π} \\ ↓ A_{0} \\ H^{R} = & \frac{1}{2} Π^{i} (d_{i j} - \frac{\partial_{i} \partial_{j}}{{metro}^{2}}) Π^{j} + \frac{1}{2} {\vec{B}}^{2} + \frac{1}{2} {metro}^{2} {\vec{A}}^{2}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal H}~=~&\frac{1}{2}\vec{\Pi}^2 +\frac{1}{2}\vec{B}^2+\frac{1}{2}m^2 A_{\mu}A^{\mu}-A_0 \vec{\nabla}\cdot\vec{\Pi} \cr\cr &\downarrow A_0\cr\cr {\cal H}^R~=~&\frac{1}{2}\Pi^i\left(\delta_{ij}-\frac{\partial_i \partial_j}{m^2} \right)\Pi^j +\frac{1}{2}\vec{B}^2+\frac{1}{2}m^2 \vec{A}^2,\end{align}\tag{2}$ y el campo magnetico es

\begin{matrix} (3) & B_{i} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} F_{j k}, {\vec{B}}^{2} = \frac{1}{2} F_{i j} F_{i j} . \end{matrix}

$B_i~=~\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F_{jk}, \qquad \vec{B}^2~=~\frac{1}{2}F_{ij}F_{ij} . \tag{3}$

--

$^1$ Si uno integra fuera/elimina $A_0$ , uno ya no podría derivar su EOM

\begin{matrix} (4) & A_{0} \approx - \frac{1}{{metro}^{2}} \vec{\nabla} \cdot \vec{Π} . \end{matrix}

$A_0~\approx~-\frac{1}{m^2}\vec{\nabla}\cdot\vec{\Pi} .\tag{4}$

$^2$ NÓTESE BIEN. Esta respuesta usa la convención de signos opuestos $(-,+,+,+)$ para que la posición de los índices espaciales no importe.

No dije que sea necesario, el problema solo quiere que yo lo haga. Estoy seguro de que la MOE en el formalismo hamiltoniano y lagrangiano debe estar de acuerdo, pero queremos demostrarlo (y creo que lo he hecho en mi edición). ¿Podrías mirarlo y responder a mi pregunta de seguimiento allí?

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