Efecto simplificador de una simetría de Weyl oculta en un QFT en el espacio-tiempo curvo

Question

Efecto simplificador de una simetría de Weyl oculta en un QFT en el espacio-tiempo curvo

gravedad
Física
invariancia de escala
teoría cuántica de campos
qft-en-espacio-tiempo-curvo
anti-de-sitter-espacio-tiempo

físico

Consideramos anuncios $_{d+1}$ en las coordenadas de Poincaré:

d s^{2} = \frac{1}{z^{2}} (- d t^{2} + d z^{2} + d X_{d - 1}^{2}),

$ds^2=\frac{1}{z^2}\left(-dt^2+dz^2+dx_{d-1}^2\right),$ donde establecemos el radio de AdS en la unidad. Estudiamos un escalar en este fondo con acción.

S = - \frac{1}{2} \int d^{d + 1} X \sqrt{- gramo} (\partial_{m} ϕ \partial^{m} ϕ + {metro}^{2} ϕ^{2}) .

$S=-\frac{1}{2}\int d^{d+1}x\,\sqrt{-g}\left(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi+m^2\phi^2\right).$ Quiero entender la siguiente declaración:

Para $m^2=-\frac{(d-1)(d+1)}{4}$ , hay una simetría de Weyl oculta presente en la acción que simplifica la forma de los correladores escalares en el estado de vacío.

Lo que pude mostrar es lo siguiente: Si consideramos un escalar con una acción diferente

S = - \frac{1}{2} \int d^{d + 1} X \sqrt{- gramo} (\partial_{m} ϕ \partial^{m} ϕ + \frac{d - 1}{4 d} R ϕ^{2}) .

$S=-\frac{1}{2}\int d^{d+1}x\,\sqrt{-g}\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi+ \frac{d-1}{4d}R\phi^2\right).$ es decir, con acoplamiento a la curvatura escalar en lugar de un término de masa, entonces esta acción es de hecho invariante bajo las transformaciones de Weyl

\begin{aligned} {gramo}_{m v} & \to Ω^{2} {gramo}_{m v}, \\ ϕ & \to Ω^{\frac{1 - d}{2}} ϕ, \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu\nu} &\to \Omega^2 g_{\mu\nu}, \\ \phi &\to \Omega^{\frac{1-d}{2}}\phi, \end{align}$ con un espacio-tiempo dependiente

Ω = Ω (x)

$\Omega=\Omega(x)$ .

para anuncios $_{d+1}$ el escalar de Ricci es $R=-d(d+1)$ , por lo que con un fondo de AdS no dinámico se puede reescribir la acción como

S = - \frac{1}{2} \int d^{d + 1} X \sqrt{- gramo} (\partial_{m} ϕ \partial^{m} ϕ - \frac{(d - 1) (d + 1)}{4} ϕ^{2}),

$S=-\frac{1}{2}\int d^{d+1}x\,\sqrt{-g}\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi- \frac{(d-1)(d+1)}{4}\phi^2\right),$ entonces uno encuentra el escalar masivo con el

m^{2} = - \frac{(d - 1) (d + 1)}{4}

$m^2=-\frac{(d-1)(d+1)}{4}$ .

Ahora bien, cuando la gravedad no es dinámica y el escalar de Ricci ya no es explícito en la acción, ¿cómo afecta esta simetría de Weyl de la teoría gravitacional a la teoría escalar?
¿La simetría oculta de Weyl conduce a una simetría conforme de la teoría escalar?

qmecanico

¿Declaración tomada de qué referencia?

físico

Encontré la declaración en la página 18 de este documento , justo al comienzo de la sección 6.2. Los autores se refieren a Birrel y Davis, pero traté de averiguarlo yo mismo ya que no tengo acceso en este momento.

Respuestas (2)

Efecto simplificador de una simetría de Weyl oculta en un QFT en el espacio-tiempo curvo

Encontré la declaración en la página 18 de este documento , justo al comienzo de la sección 6.2. Los autores se refieren a Birrel y Davis, pero traté de averiguarlo yo mismo ya que no tengo acceso en este momento.

físico · Answer 1

Resultado:

Los siguientes dos hechos pueden usarse para argumentar que el correlacionador escalar se simplifica en el caso especial descrito anteriormente.

Cuando la acción escalar es invariante de Weyl, entonces la ecuación de movimiento escalar es covariante y podemos usar una transformación de Weyl para simplificar la ecuación.
Hay una transformación de Weyl que asigna AdS al semiplano superior del espacio plano de Minkowski. El correlador en el espacio plano se puede calcular fácilmente y el resultado se puede volver a transformar en AdS usando la inversa de la transformación de Weyl anterior.

Más detalles:

En el caso especial de $m^2=-\frac{(d-1)(d+1)}{4}$ la acción escalar en Weyl invariante, es decir, bajo

\begin{aligned} {gramo}_{m v} & \to Ω^{2} {gramo}_{m v}, \\ ϕ & \to Ω^{\frac{1 - d}{2}} ϕ, \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu\nu} &\to \Omega^2 g_{\mu\nu}, \\ \phi &\to \Omega^{\frac{1-d}{2}}\phi, \end{align}$ y la ecuacion de movimiento

(◻ - \frac{d - 1}{4 d} R) ϕ = 0

$\left(\Box-\frac{d-1}{4d}R\right)\phi=0$ es covariante.

Para $\Omega=z$ , la métrica transformada es $z^2g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ , el apartamento $(d+1)$ Métrica dimensional de Minkowski. Definición del campo reescalado $\varphi=z^{\frac{1-d}{2}}\phi$ , la ecuación de movimiento se convierte en

0 = η^{m v} \partial_{m} \partial_{v} φ = (- \partial_{t}^{2} + {\vec{\nabla}}^{2} + \partial_{z}^{2}) φ .

$0=\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\varphi=\left(-\partial_t^2+\vec{\nabla}^2+\partial_z^2\right)\varphi.$ La solucion es

tu = A {mi}^{- i ω t + i \vec{k} \cdot \vec{X} + i q z} + B {mi}^{- i ω t + i \vec{k} \cdot \vec{X} - i q z},

$u=Ae^{-i\omega t+i\vec{k}\cdot\vec{x}+iqz}+Be^{-i\omega t+i\vec{k}\cdot\vec{x}-iqz},$ dónde

q = \sqrt{ω^{2} - {\vec{k}}^{2}}

$q=\sqrt{\omega^2-\vec{k}^2}$ . Los modos con

{\vec{k}}^{2} > ω^{2}

$\vec{k}^2>\omega^2$ están prohibidos por no ser normalizables en la región

z \to \infty

$z\to\infty$ . Imposición de condiciones de contorno de Dirichlet

{φ |}_{z = 0} = 0

$\left.\varphi\right|_{z=0}=0$ lleva a

tu = C {mi}^{i k \cdot X} pecado (q z)

$u=C e^{i{k}\cdot{x}}\sin(qz)$ dónde

k \cdot x = - ω t + \vec{k} \cdot \vec{x}

$k\cdot x=-\omega t+\vec{k}\cdot\vec{x}$ . Ahora, uno puede expandir el campo

φ

$\varphi$ en los modos propios

u

$u$ encontramos. Separamos los modos de frecuencia positiva y negativa:

φ (X, z) = \int_{k^{0} > | \vec{k} |} d^{d} k (C a_{k} {mi}^{i k \cdot X} pecado (q z) + C^{*} a_{k}^{†} {mi}^{- i k \cdot X} pecado (q z)) .

$\varphi(x,z)=\int_{k^0>|\vec{k}|} d^d k\, \left(C a_{k} e^{i{k}\cdot{x}}\sin(qz)+C^* a_k^\dagger e^{-i{k}\cdot{x}}\sin(qz)\right).$ A partir de este momento, cuantificar y calcular la función de dos puntos es sencillo. Primero, se calcula la norma de Klein-Gordon de las funciones modales para encontrar la normalización

C

$C$ . Relaciones canónicas de conmutación para

a_{k}

$a_k$ y

a_{k}^{†}

$a_k^\dagger$ se imponen y se puede encontrar la función de vacío de dos puntos.

El resultado se puede transformar de nuevo a $AdS$ usando

⟨ ϕ (X, z) ϕ (y, z^{'}) ⟩ = z^{- \frac{1 - d}{2}} {z^{'}}^{- \frac{1 - d}{2}} ⟨ φ (X, z) φ (y, z^{'}) ⟩

$\langle\phi(x,z)\phi(y,z')\rangle= z^{-\frac{1-d}{2}}{z'}^{-\frac{1-d}{2}}\langle\varphi(x,z)\varphi(y,z')\rangle$

El resultado,

⟨ φ (X, z) φ (X^{'}, z^{'}) ⟩ = \frac{Γ (\frac{d - 1}{2})}{4 π^{\frac{d + 1}{2}}} (\frac{1}{[(X - X^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2}]^{\frac{d - 1}{2}}} - \frac{1}{[(X - X^{'})^{2} + (z + z^{'})^{2}]^{\frac{d - 1}{2}}})

$\langle\varphi(x,z)\varphi(x',z')\rangle=\frac{\Gamma\left(\frac{d-1}{2}\right)}{4\pi^{\frac{d+1}{2}}}\left(\frac{1}{[(x-x')^2+(z-z')^2]^{\frac{d-1}{2}}}-\frac{1}{[(x-x')^2+(z+z')^2]^{\frac{d-1}{2}}}\right)$ Es muy interesante. Invariancia traslacional a lo largo

x

$x$ dicta que el correlador sólo puede depender de

x - x^{'}

$x-x'$ . Debido a las condiciones de contorno de Dirichlet en

z = 0

$z=0$ , que es donde se mapea el límite de AdS bajo el cambio de escala, la invariancia de traducción en el

z

$z$ -la dirección está rota. Además de un término que depende de

z - z^{'}

$z-z'$ , hay un término

z + z^{'}

$z+z'$ . Esto se puede comparar con el electromagnetismo, donde las condiciones de contorno de Dirichlet se pueden imponer introduciendo cargas especulares.

- z^{'}

$-z'$ es básicamente una imagen especular de

z^{'}

$z'$ al reflexionar en

z = 0

$z=0$ , por lo que hay un segundo término debido a las condiciones de frontera de Dirichlet en la frontera de AdS.

holmes · Answer 2

Una transformación de Weyl es una transformación conforme. Simplemente lo llaman una transformación de Weyl porque está dentro de la Relatividad General. Esto significa que su intento de comprender la declaración (es decir, las preguntas "1" y "2") no es válido y tiene poco que ver con la relación entre la simetría de Weyl y la simetría escalar conforme. La declaración que está tratando de entender dice que la simetría de Weyl simplifica los correladores escalares, es decir, cuando está tomando el valor esperado de vacío de un campo escalar sin masa.

p.ej

⟨ ϕ (X_{1}), ϕ (X_{2}) . . . ϕ (X_{norte}) ⟩ = \frac{\int D ϕ {mi}^{- S [ϕ]} ϕ (X_{1}) . . . ϕ (X_{norte})}{\int D ϕ {mi}^{- S [ϕ]}}

$\begin{equation} \langle\phi(x_1),\phi(x_2)...\phi(x_n)\rangle= \frac{\int D\phi e^{-S[\phi]} \phi(x_1)...\phi(x_n)}{\int D\phi e^{-S[\phi]}} \end{equation}$

Como puede ver aquí, tomar el VEV es mucho más simple porque

S [ϕ] = - \frac{1}{2} \int d^{d + 1} X \sqrt{- gramo} (\partial_{tu} ϕ \partial^{tu} ϕ - \frac{(d - 1) (d + 1)}{4} ϕ^{2})

$\begin{equation} S[\phi]=-\frac{1}2 \int d^{d+1}x \sqrt{-g}(\partial_u\phi\partial^u\phi-\frac{(d-1)(d+1)}4\phi^2) \end{equation}$

En principio, Weyl y las transformaciones conformes son diferentes, ver aquí . Las transformaciones de Weyl son cambios de escala explícitos de la métrica con coordenadas fijas, mientras que las transformaciones conformes son transformaciones de coordenadas tales que se cambia la escala de la métrica. Si se supone que la invariancia de Weyl conduce a la invariancia conforme, entonces bajo una transformación conforme $x\to x'=\Omega^{-1}x$ , Debo tener $\phi\to\phi'(z')=\Omega^{\frac{1-d}{2}}\phi(z)$ . ¿Cómo sé esto?
No creo que esta relación particular entre la invariancia de Weyl y la invariancia conforme tenga mucho que ver con la declaración original que estaba tratando de entender, pero la cuestión de cómo la invariancia de Weyl conduce a la invariancia conforme en la métrica de AdS es muy interesante y todavía tiene aún por explicar en un contexto matemático más profundo. Creo que deberías plantear otra pregunta que se centre por completo en esta relación. Continuaré investigándolo yo mismo, pero en cuanto a la relación entre los dos, sé tanto como tú.

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