Temperatura de equilibrio final de dos depósitos conectados entre sí a través de un motor térmico (eficiencia térmica del 50%)

Question

Temperatura de equilibrio final de dos depósitos conectados entre sí a través de un motor térmico (eficiencia térmica del 50%)

usuario401751

Estoy considerando un sistema aislado térmicamente de presión constante. Donde 10 kg de aire a 1000 K (suponga $Cp_{air}=0.98$ kJ/kgK, indique esto como el depósito caliente por H) está conectado a 10 kg de agua a 300 K (suponga que $Cp_{water}=$ 4.2 KJ/kgK y denotar esto como el depósito frío por C). El motor térmico tiene una eficiencia térmica máxima del 50%.

Sé que debería considerar el equilibrio en términos de cambio de entropía. es decir, cuando

$\Delta S_{system} = 0$

Entiendo cómo hacer este problema cuando el motor térmico es reversible. Desde entonces $\frac{\delta Q_H}{T_H} = \frac{\delta Q_H}{T_H}$ llevando a

$\Delta S_{system} = (mC_P)_{air}\ln(\frac{T_f}{T_H}) + (mC_P)_{water}\ln(\frac{T_f}{T_C}) = 0$

$\Rightarrow T_f =$ temperatura de equilibrio del sistema = 376.7K.

Sin embargo, no puedo entender cómo tener en cuenta el hecho de que la eficiencia térmica del motor térmico es solo del 50%. He hecho lo siguiente hasta ahora:

$\eta_{th} = \frac{\delta W_E}{\delta{Q_H}} = 0.5$

$\Rightarrow \delta W_E = 0.5\delta{Q_H}$

Desde la 1ª ley $\Rightarrow dU=\delta{Q}-\delta{W}$ y para una máquina térmica que completa un ciclo, $dU=0$ y por lo tanto $\delta{Q_C}=-0.5\delta{Q_H}$ . Pero sé que esto es solo para el caso máximo, y sé que la eficiencia térmica se reducirá a medida que las dos temperaturas se igualen.

Cualquier ayuda será muy apreciada, ¡gracias de antemano!

EDITAR: El problema exacto es P2.10 a continuación:

Respuestas (1)

Temperatura de equilibrio final de dos depósitos conectados entre sí a través de un motor térmico (eficiencia térmica del 50%)

Chet Miller · Answer 1

Puedo pensar en dos interpretaciones de esta pregunta. ¿Dio el enunciado exacto del problema?

Una interpretación sería que, independientemente de la naturaleza del proceso cíclico, la eficiencia es del 50% en todo el camino. Entonces,

q_{H} = {metro}_{H} C_{H} (T_{H 0} - T_{F})

$Q_H=m_HC_H(T_{H0}-T_F)$

q_{C} = {metro}_{C} C_{C} (T_{F} - T_{C 0})

$Q_C=m_CC_C(T_F-T_{C0})$ y

\frac{q_{H} - q_{C}}{q_{H}} = 0.5

$\frac{Q_H-Q_C}{Q_H}=0.5$

La otra interpretación sería que $\Delta S$ es igual a cero hasta el punto en que las temperaturas son tales que la eficiencia es del 50%, después de lo cual la eficiencia se mantiene constante en el 50% (como en la primera interpretación).

EDITAR:

¡Vaya! Creo que tengo la segunda interpretación al revés. Comience con la eficiencia del 50% y luego cambie a la $Delta S=0$ camino después de que la temperatura absoluta del reservorio frío alcance el 50% de la del reservorio caliente.

EDITAR 2

Intenta esto y mira si funciona. Resolver para temperaturas intermedias $T_{H}$ y $T_C$ en el cual $T_C=T_H/2$ con una eficiencia del 50% y con la eficiencia instantánea de Carnot también es del 50%:

\frac{{metro}_{C} C_{C} (0.5 T_{H} - T_{C 0})}{{metro}_{H} C_{H} (1000 - T_{H})} = 0.5

$\frac{m_CC_C(0.5T_H-T_{C0})}{m_HC_H(1000-T_H)}=0.5$

¿Qué valores obtienes para $T_{H}$ y $T_C$ ? Luego, use estas temperaturas como punto de partida para un segundo cambio en el que use su $\Delta S=0$ ecuación, con estos valores como las temperaturas iniciales. ¿Qué obtienes de la temperatura final?

Gracias, ahora he agregado una imagen del problema exacto del libro. Cuando apliqué la primera ley y asumí una eficiencia térmica constante, también llegué a las mismas ecuaciones que diste para tu primera interpretación; que dan una temperatura final de Tf=373.13K, que es diferente a la respuesta en el libro de 385.1K. Desafortunadamente, no estoy muy seguro de cómo calcularía la temperatura usando su segunda interpretación, como pensé $\Delta S = 0$ Cuál era la definición de equilibrio?
He hecho lo que me sugeriste y los valores intermedios son $T_H =$ 675.68 y $T_C =$ 337.84. ¡Sustituir estos en la ecuación de equilibrio da como resultado 373.14K nuevamente! Estoy empezando a preguntarme si la respuesta en el libro es incorrecta.
Esas son las mismas temperaturas que obtengo para la primera parte. Pero, no parece posible que vuelva a obtener la misma temperatura final, considerando que la eficiencia en el cálculo delta S a partir de este punto cae por debajo de 0.5. Intentaré ejecutar la segunda parte del cálculo yo mismo y veré qué obtengo.
DE ACUERDO. Entiendo esto: $T_{F} = (675.68)^{0.98 / 5.18} (337.84)^{4.2 / 5.18} = 385.18$ $T_F=(675.68)^{0.98/5.18}(337.84)^{4.2/5.18}=385.18$
Me pasa lo mismo ahora, obviamente me confundí anoche. ¡Gracias de nuevo por tu ayuda!

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