¿Por qué tomar trabajo de un sistema no reduce su entropía?

En el libro Thermal Physics de Daniel Schroeder, señala que a medida que se pone energía en un sistema, su entropía aumenta (hay algunas excepciones a esto en general, pero para esta pregunta podemos ignorar esto). Sin embargo, a medida que se introduce energía en el sistema, la entropía sigue aumentando, pero en cantidades cada vez menores. También definimos el recíproco del cambio de Entropía sobre el cambio de Energía como la Temperatura del sistema:

Todo esto tiene sentido: un objeto de temperatura más baja es aquel en el que se gana mucha entropía si se le agrega energía, y un objeto de temperatura más alta es aquel en el que se pierde muy poca entropía si se le quita energía. A partir de esto, es fácil ver por qué el objeto de temperatura más alta dará energía espontáneamente al objeto de temperatura más baja si se ponen en contacto térmico entre sí.

Esto también tiene sentido desde la interpretación de la entropía como el número de "microestados" del sistema. Claro, eliminar energía hará que el microestado del objeto de temperatura más alta sea más seguro (porque ahora hay menos), pero hacer que el objeto de temperatura más baja reciba esa energía agregará mucha más incertidumbre al microestado, más que compensar los microestados perdidos. en el sistema del objeto de mayor temperatura.

Pero si todo esto fuera cierto, entonces no debería importar cómo entra/sale la energía de mi sistema. Es decir, no debería importar si la energía entra o sale a través del flujo de calor o si se realizó trabajo sobre ella. Ciertamente, podemos ver en la fórmula anterior para la temperatura que la temperatura depende de cómo la entropía$S$cambia cuando hay un cambio en la energía del sistema$U$. No hay referencia a$Q$, el calor puesto en el sistema ya sea en la fórmula o en la interpretación de la entropía anterior.

Por eso me confunde cuando habla de motores térmicos. Schroeder trata de determinar la eficiencia máxima de un motor térmico que toma calor$Q_h$de un depósito caliente, apaga el trabajo$W$y arroja calor$Q_c$como desperdicio Comenzando con la definición de eficiencia$e = W/Q_h$él pone en dos restricciones. La primera restricción proviene de la Primera Ley de la Termodinámica y tiene sentido:

La segunda restricción proviene de la Segunda Ley y me tiene confundido:

¿Por qué no hay un término para la entropía que se lleva a cabo cuando se realiza trabajo en el sistema? En otras palabras, ¿por qué la restricción de la segunda ley no es así?

(Supongo$T_?$sería la temperatura del motor, entre$T_c$y$T_h$, cuando está haciendo el trabajo.)

Sin embargo, la restricción no está escrita de esta manera, entonces, ¿por qué tomar trabajo de un sistema no reduce su entropía?