Comprender mejor la desigualdad de Clausius

Mi comprensión conceptual se basa en la sección sobre la Desigualdad de Clausius de la Física térmica de Finn. Se adjunta el gráfico utilizado para la derivación en el libro de texto.

Si quiero entender correctamente, la Desigualdad de Clausius generalmente se demuestra con un motor que está diseñado de tal manera que al final del ciclo, el estado de la sustancia de trabajo no cambia. El motor es impulsado por una serie de motores de Carnot que extraen de un depósito principal en$T_0$. El motor gana calor$\delta Q_1$de$C_1$, la primera máquina de Carnot, trayendo de estado$1$a$2$. Este calor fue rechazado por$C_1$después de hacer el trabajo$\delta W_1$. Hizo trabajo a partir del calor que se le suministró desde el otro depósito auxiliar en$T_0$, entrega$\delta Q_1 \frac{T_0}{T_1}$. Pasó el calor del depósito principal, lo que creo que se debe a que ambos están en$T_0$. No sé por qué los reservorios principal y auxiliar intercambian calor cuando están a la misma temperatura, pero puede ser que cuando el reservorio auxiliar le dio calor a$C_1$, el reservorio principal luego intercambió calor con él, ya que el reservorio auxiliar habría bajado de temperatura al hacerlo y luego se habría iniciado el intercambio de calor. Este proceso se repite un número arbitrario de veces en la misma configuración exacta, de modo que el sistema pasa de estados$1$a$2$a$3$etcétera.

El motor compuesto se puede construir una vez considerando los intercambios netos de calor y trabajo del sistema.

Por alguna razón, el motor no está rechazando el calor que le da el depósito auxiliar.$T_i$, tal vez porque no está haciendo ningún trabajo. Sin embargo, los procesos netos del motor compuesto están recibiendo calor.

$$Q = \sum_i \frac{T_0}{T_i} \delta Q_i$$

y haciendo trabajo

$$W = \sum_i W_i$$

Y dado que la máquina compuesta está convirtiendo calor en trabajo sin rechazar nada, esto es una violación de la segunda ley de la termodinámica, como$\Delta U = 0 = Q - W \implies Q = W$y el proceso es un ciclo. Sin embargo, aparentemente hay una manera de evitar este problema que me resulta confuso. Aquí, el trabajo es positivo y el calor es positivo, ya que el trabajo se realiza en los alrededores y el calor se aplica a la sustancia de trabajo. Sin embargo, la única forma en que este proceso puede ocurrir y ser físicamente posible es para ambos$W$y$Q$ser negativo, se realiza trabajo en el sistema y sale calor. O ambos$W$y$Q$puede ser cero.

$$W = Q \ \text{where both are less than or equal to 0}$$

Esto implica directamente que:

$$\sum_i \delta Q_i \frac{T_0}{T_i} = T_0 \sum_i \frac{\delta Q_i}{T_i} \le 0$$

Desde$T_0$es estrictamente positivo, esto implica que el resto debe ser estrictamente negativo.

$$\implies \sum_i \frac{\delta Q_i}{T_i} \le 0$$

Como$i \to \infty$, entonces tenemos una integral

$$\oint \frac{dQ}{T} \le 0$$

aquí$dQ$se nota que es un diferencial inexacto. Lo que nos lleva a la desigualdad de Clausius.

Ahora enumeraré todas las confusiones que tengo con la derivación.

1) ¿Por qué$T_1$dar$\delta Q_1$de calor a la sustancia de trabajo en lugar de una cantidad arbitraria? ¿Por qué lo pasó a lo largo de$C_1$?

2) ¿Por qué el reservorio principal emitió calor?$\delta Q_1 \frac{T_0}{T_1}$cuando tanto el depósito principal como el depósito auxiliar están a temperatura$T_0$? Pensé que el intercambio de calor ocurre durante una diferencia de temperatura.

3) ¿Por qué el motor no funciona en círculo rechazando el calor?

4) La única forma en que esto es físicamente es si ambos$Q$y$W$son negativos... pero en el motor compuesto que hemos construido... ¿no lo es? Entonces, ¿cómo podemos simplemente cambiar de opinión y pretender que este sigue siendo el mismo motor?

5) Probamos que este es el caso de un motor que inventamos en nuestras cabezas. ¿Cómo sabemos que esto se aplica a todos los motores?

6) El libro de texto anota la$T$dentro de la integral aparece la temperatura de los depósitos auxiliares que suministran calor a la sustancia de trabajo. Por lo tanto, la temperatura de la fuente externa de calor$T_0$. ¿Por qué no sería$T_i$? Esa es la temperatura del depósito que da calor a la sustancia de trabajo.

7) El libro de texto luego señala que si el ciclo es reversible, entonces el ciclo podría tomarse en la dirección opuesta y la prueba daría

$$\oint \frac{dQ}{T_0} \ge 0$$

donde una vez más$dQ$pretende ser un diferencial inexacto. Pero esto implica$W = Q \ge 0$, que debería violar la segunda ley de la termodinámica (a saber, la ley de Kelvin). ¿Por qué es esto válido?

8) Dado que un ciclo reversible aparentemente tendrá dos desigualdades posibles, la única manera de que ambas se satisfagan es que

$$\oint \frac{dQ_R}{T} = 0 \ \text{(reversible)}$$

Sin embargo, el libro de texto señala que "el$0$subíndice en$T$se ha descartado, porque ahora no hay diferencia entre la temperatura de la fuente externa que suministra el calor y la temperatura de la sustancia de trabajo". No entiendo por qué este es ahora el caso.

Sé que estas son muchas preguntas, pero cualquier respuesta y tantas como sea posible significaría mucho para mi comprensión, ya que siento que esto es algo clave para entender en esta disciplina.