Tasa de momento angular en el centro de masa

Una partícula de masa$m$situado en$\vec{r} = \pmatrix{x & y & z}$desde el origen y con velocidad$\vec{v} = \pmatrix{ vx & vy & vz}$tiene las siguientes propiedades

• Momento lineal

  $$\vec{p} = m \vec{v} = \pmatrix{m\, vx \\ m\, vy \\ m\, vz}$$

• Momento angular respecto al origen

  $$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \pmatrix{m ( vz\, y-vy\, z) \\ m (vx\,z - vz\,x) \\ m( vy\,x -vx\,y )}$$

  _{Dónde$\times$es el producto vectorial vectorial.}

Creo que está preguntando sobre cómo encontrar la línea de acción de las fuerzas de reacción de un sistema de fuerzas equipolentas.$\vec{F} = \pmatrix{Fx & Fy & Fz}$y momentos$\vec{M} = \pmatrix{Mx & My & Mz}$en el lugar$\vec{r}$.

El se encuentra con el cálculo

$$\vec{r}_{\rm zero moment} = \vec{r} + \frac{ \vec{F} \times \vec{M}} { \| \vec{F} \|^2} = \frac{1}{Fx^2+Fy^2+Fz^2} \pmatrix{Fy Mz-FzMy \\ Fz Mx - Fx Mz \\ Fx My - Fy Mx}$$

De todos modos, le sugiero encarecidamente que lea un poco sobre vectores y productos cruzados para comprender las matemáticas de la mecánica.

Mi forma favorita de calcular un producto cruzado a través de la matriz de productos cruzados

$$\vec{a} \times \vec{b} = \pmatrix{0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 } \pmatrix{b_x \\ b_y \\ b_z}$$

Usa la notación abreviada$[\vec{a}\times]$para denotar la matriz simétrica sesgada de 3 × 3 que se muestra arriba que multiplica$\vec{b}$. Lo anterior se escribe de manera concisa como una multiplicación matriz-vector que se calcula fácilmente

$$\vec{a} \times \vec{b} = [\vec{a} \times ] \vec{b}$$