Partícula en un pozo de potencial infinito que se duplica en tamaño en t0t0t_0

Question

Partícula en un pozo de potencial infinito que se duplica en tamaño en t0t0t_0

usuario20486

Actualmente estoy estudiando para un examen de Mecánica Cuántica y encontré una solución a un problema que tengo problemas para entender.

El problema:

Una partícula se encuentra en un potencial infinito bien descrito por

\begin{aligned} V (X) & = 0, & 0 \leq X \leq L \\ V (X) & = \infty, & de lo contrario \end{aligned}

$\begin{align} V(x) &= 0, & 0 \leq x \leq L \\ V(x) &= \infty, & \text{otherwise} \end{align}$

Sabemos que las energías están dadas por $E_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}$ y $\Psi(x) = A_n \sin(n \pi x /L)$ .

En el momento $t_0$ el pozo de potencial repentinamente se duplica en tamaño, de modo que el potencial ahora es

\begin{aligned} V (X) & = 0, & 0 \leq X \leq 2 L \\ V (X) & = \infty, & de lo contrario \end{aligned}

$\begin{align} V(x) &= 0, & 0 \leq x \leq 2L \\ V(x) &= \infty, & \text{otherwise} \end{align}$

Así que las energías ahora están dadas por $\tilde{E}_n = \dfrac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 \cdot 4 m L^2}$ y $\tilde{\Psi}(x) = \tilde{A}_n \sin(n \pi x /2L)$ .

Si la partícula está en el estado fundamental del potencial mucho antes del cambio, ¿cuál es la probabilidad de encontrar la partícula en el estado fundamental del nuevo potencial después del cambio?

Esto es absolutamente claro para mí. Encontramos una probabilidad que no desaparece como resultado. Pero ahora se complica:

¿Cuál es el valor esperado de la energía de la partícula inmediatamente después del cambio? ¿Cómo evoluciona el valor esperado de la energía en el tiempo?

La solución sugiere que el valor esperado de la energía no evoluciona con el tiempo, lo cual me queda claro, ya que el hamiltoniano es independiente del tiempo y, por lo tanto, la energía se conserva. Pero también sugiere que el valor esperado no cambia después de que duplicamos el ancho de la pared de potencial, lo cual entiendo por el argumento de la conservación de la energía, pero no en términos de mecánica cuántica. Si la probabilidad de que la partícula esté en el estado $\tilde{\Psi}$ no desaparece la partícula podría tener la energía $\tilde{E}_n$ que es inferior a $E_n$ y esto significaría que el valor esperado de energía podría cambiar (con una probabilidad dada).

¿Qué me estoy perdiendo aquí, dónde está mi error? ¡Cualquier ayuda es apreciada!

Respuestas (2)

Partícula en un pozo de potencial infinito que se duplica en tamaño en t0t0t_0

Motl de Luboš · Answer 1

El valor esperado de la energía permanece igual después de duplicar el tamaño, pero eso no significa que el espectro sea el mismo. Para un normalizado $\psi$ , el valor esperado de la energía es simplemente

\int_{- L}^{+ L} d X ψ^{*} (- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + V (X)) ψ

$\int_{-L}^{+L}dx\,\psi^* \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi$ porque la integral puede reducirse al intervalo cuando la función de onda desaparece fuera del intervalo. Ahora, inmediatamente cuando duplicas el tamaño del pozo, el valor de

ψ (x)

$\psi(x)$ sigue siendo el mismo por lo que todavía se desvanece fuera del intervalo

(- L, L)

$(-L,L)$ y hace que el integrando desaparezca también (aunque la segunda derivada podría negarse a desaparecer). Es por eso que la integral anterior todavía se puede reescribir como

\int_{- 2 L}^{+ 2 L} d X ψ^{*} (- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} + V (X)) ψ

$\int_{-2L}^{+2L}dx\,\psi^* \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi$ sin ningún cambio. Es el valor esperado del nuevo hamiltoniano. Tenga en cuenta que

V (x) = 0

$V(x)=0$ lo que sea

ψ (x) \neq 0

$\psi(x)\neq 0$ por lo que el término potencial puede ser omitido.

Tiene razón en que existe cierta probabilidad de que en el pozo más grande, la partícula se asiente en un valor de energía más bajo que el valor propio de energía inicial. Sin embargo, existe cierta probabilidad de que la energía también aumente: el paquete de ondas se aprieta innecesariamente en una pequeña parte del pozo, lo que agrega más energía cinética que la mínima posible. Estos cambios positivos y negativos se cancelan en el valor esperado de la energía: el cálculo anterior mostró que se mantuvo constante.

El valor esperado de la energía permanece constante cuando la partícula evoluciona también de acuerdo con el hamiltoniano de pozo más grande.

Las probabilidades para cada valor propio de energía son constantes para todos $t<0$ y luego por $t>0$ pero hay una discontinuidad en $t=0$ . Sin embargo, como muestra el cálculo simple anterior, en el valor esperado de la energía en sí, el cambio del espectro, etc. en $t=0$ cancela cuando se trata del valor esperado de la energía.

Gracias por su respuesta detallada y explicación, ¡esto lo deja claro!
¿Cuál es el valor del hamiltoniano después del cambio? Entiendo que los valores en $E_{n}$ cambiar a $\tilde E_{n}$ , pero ¿no debería eso cambiar el valor del hamiltoniano? (usando $\langle H \rangle = \Sigma |c_{n}|^{2}E_{n}$ )
Hola, @user44816, el primer punto de este cálculo (y la primera oración de mi respuesta) es que el valor esperado (¡no solo el valor!) del hamiltoniano se mantiene constante después del cambio porque los dos hamiltonianos solo difieren en la energía potencial en lugares donde la partícula estaba 100% garantizada de estar ausente. Un cambio general del hamiltoniano cambia su valor esperado en un estado general en una cantidad general, pero en este problema particular, mi argumento muestra claramente que la cantidad es cero.

Vladímir Kalitvianski · Answer 2

Bajo una perturbación repentina, el estado no cambia, pero la base sí. Este estado se expande en la nueva base cuyos coeficientes evolucionan correspondientemente. Normalmente se cubre en capítulos con la teoría de la perturbación dependiente del tiempo. $\hat{V} = \hat{V}(t)$ .

Si el potencial depende del tiempo, la energía no se conserva en el caso general. En tu caso la energía de lo cierto se vuelve incierta.

Seguramente tienes algo de espíritu de la respuesta correcta pero no puedes llamar a este cambio una "perturbación" porque no es pequeño en ningún sentido. El cambio (duplicación) no debe ser descrito por ninguna teoría de perturbaciones. - Para potenciales generales dependientes del tiempo, la energía no se conserva, pero el punto aquí es que no es el caso general. Porque $V=0$ lo que sea $\psi\neq 0$ , el valor esperado de la energía en realidad se conserva, pero realmente no ha explicado por qué, a pesar del hecho, como admite, para los cambios generales del hamiltoniano, no se conserva.
@LubošMotl: nunca mencioné un valor esperado, sino el valor propio, a decir verdad. El estado inicial es un estado propio del antiguo hamiltoniano y deja de serlo del nuevo hamiltoniano. Desafortunadamente, confunde un valor esperado y un valor propio.

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