Suma vectorial de velocidad [cerrado]

No puedes usar la suma de vectores para velocidades como esa. Imagina dos caballos corriendo en la misma dirección a la velocidad$v$tirando del mismo vagón. ¿El vagón se mueve a gran velocidad?$v$o$2v$? El carro se mueve a la velocidad$v$, es decir, puede aplicar la suma de vectores de velocidad solo a los componentes de velocidad (vectores) de un cuerpo, y dos caballos son cuerpos separados.

En su ejemplo, la suma de vectores funcionaría para fuerzas pero no para velocidades. Además, hay que tener en cuenta que$\theta$también cambia con el tiempo.

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Comience desde el triángulo rectángulo y las condiciones estables:

$$H = L \cos\theta , \qquad L^2 = H^2 + D^2$$

dónde$H$es la componente vertical,$D$es la componente horizontal y$L$es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Sin embargo, en su caso sólo el$D$es constante, por lo tanto:

$$h(t) = l(t) \cos(\theta(t)) , \qquad l(t)^2 = h(t)^2 + D^2$$

Ahora toma la derivada de la ecuación del lado derecho:

$$2 l(t) \frac{d}{dt} l(t) = 2 h(t) \frac{d}{dt} h(t) + \underbrace{\frac{d}{dt} D^2}_{0}$$

dónde$v(t) = \frac{d}{dt}h(t)$es la velocidad en la dirección ascendente y$u(t) = \frac{d}{dt} l(t)$es la velocidad en la dirección hacia abajo . Esto finalmente da$l(t) u(t) = h(t) v(t)$cual es:

$$v(t) = u(t) \frac{l(t)}{h(t)} = \frac{u(t)}{\cos(\theta(t))}$$

el "trabajo" que se realiza debido a la fuerza de tensión$~T$es

$$T\,\cos(\theta)\,\delta x=T\,\delta u\quad \Rightarrow\\ \delta x=\frac{\delta u}{\cos(\theta)}$$

Tenga en cuenta que, deliberadamente, esta no es una respuesta completa a la pregunta formulada.

estas tratando$\cos \theta$como una constante no lo es Lo que es constante (o casi constante) es la separación horizontal (llámese$2X$) de la parte superior de las cuerdas. Entonces sí$y$es la distancia vertical del punto donde las cuerdas se encuentran debajo de la línea que une la parte superior de las cuerdas, tenemos

$$y^2 + X^2 = r^2$$ en el cual$r$es la longitud de cada cuerda entre la polea y donde se unen las cuerdas.

Usando la regla de la cadena, diferencie ambos lados a la vez, recordando que$X$es una constante

La respuesta dada sigue casi de inmediato, porque sabes cómo interpretar$\frac{dy}{dt}$y$\frac{dr}{dt}$.

Anexo Para un enfoque más pictórico, estudie este diagrama que muestra cómo las cuerdas cambian de posición en un pequeño intervalo de tiempo.$dt$. Tenga en cuenta que$u$es la velocidad a la que caen los pesos laterales, y$w$es la velocidad a la que sube el peso central.

Se ha dejado caer una perpendicular, BC, desde el 'nuevo' punto, B, donde se encuentran las cuerdas, hasta la posición de una cuerda al comienzo del intervalo.$dt$. AC es entonces muy cerca de la distancia en la que las cuerdas inclinadas se han acortado en el tiempo.$dt$, y por tanto por la que han caído los pesos laterales. [El 'casi' se aproxima exactamente como$dt$se aproxima a cero.]

Si observa el diminuto triángulo rectángulo, verá cómo surge la relación requerida.

Tenga en cuenta que esto es esencialmente un problema geométrico ; expresarlo en términos de velocidades le da un sabor a física.

Es un problema similar al que se aborda aquí. Ayúdame a comprender el uso del vector en este problema.

El interrogador se preguntó por qué la velocidad con la que el bloque inferior se deslizó a lo largo de la mesa no era$5\cos53$

en cambio es$\frac{5}{\cos53}$

Estás trabajando este problema al revés. A partir de la velocidad$u$y resolverlo en$M$en sentido vertical y sumando los dos lados hacia arriba. Esto es incorrecto ya que las velocidades no se suman como las fuerzas.

Si bien un cuerpo puede tener múltiples fuerzas actuando sobre él, siempre hay un solo estado de movimiento (velocidad + rotación).

Así que empieza con la velocidad de$M$hacia arriba con$x$y encuentre qué tan rápido la longitud$MB$está cambiando. Esta velocidad es la misma que$u$al otro lado de la polea. Para igualar la componente vertical de$u$con$x$necesitas.

$$u \cos \theta = x$$