¿Por qué la norma de estos vectores sería 1?

Sea un sistema de coordenadas cartesianas$uOx$coincide con un plano vertical tal que$Ou$es el eje horizontal y$Ox$es el eje orientado verticalmente hacia arriba (ver Fig. 1). Estamos buscando las curvas suaves que conectan dos puntos fijos$A = (u_0, x_0)$y$B = (u_1, x_1)$con$u_0, u_1 \geq 0$,$u_0 \neq u_1$, y$0 \leq x_1 < x_0$para que una cuenta$M$deslizamiento con velocidad inicial$v_0 \geq 0$hacia abajo desde$A$y acelerado por la gravedad se deslizará con una fricción cinética no lineal a$B$en el menor tiempo$T$.

Suponemos para el principio que existe una solución representada por una curva suficientemente suave$\gamma$y un punto arbitrario$M$Acostado$\gamma$. Dejar$\mathbf{\tau}$sea ​​el vector unitario tangente a$\gamma$y$M$,$\mathbf{v}$sea ​​el vector velocidad de la cuenta$M$,$\mathbf{\nu}$Sea el vector unitario normal a$\gamma$en$M$,$\mathbf{g}$Sea el vector gravedad aceleración,$\mathbf{f}_\mu$Sea la fuerza de rozamiento,$\mathbf{f}_\nu$ser la componente normal de la fuerza de reacción de la restricción,$\theta$Sea el ángulo de la pendiente de la tangente, y$\mathbf{i}$y$\mathbf{j}$ser los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas$uOx$.

La posición de una partícula$M$relativo al sistema de coordenadas$uOx$está determinada por el vector de posición$\mathbf{r}$(ver Fig. 1). la partícula$M$se está moviendo de$A$a$B$, por lo que su vector de posición$\mathbf{r}$es una funcion del tiempo$t$, es decir,....

Hola, tengo muchos problemas para entender este extracto. La cita es una introducción, y más adelante dijeron que$\lVert\mathbf{\tau}\rVert=\lVert\mathbf{\nu}\rVert=\lVert\mathbf i\rVert=\lVert\mathbf j\rVert=1$. ¿Por qué? Además, ¿por qué el vector de velocidad es$\mathbf v=-v \cos\theta\ \mathbf i -v\sin\theta\ \mathbf j$?