Suma del producto de (3i - 2)/(5i)

Question

Suma del producto de (3i - 2)/(5i)

cálculo
Matemáticas
análisis real
secuencias y series

lee pescador

He estado luchando tratando de resolver esto ... Maple y Wolfram me dicen que la suma que estoy viendo es igual a la raíz cúbica de 5/2, aquí están los símbolos:

\sum_{norte = 0}^{\infty} \prod_{i = 1}^{norte} \frac{3 i - 2}{5 i} = \sqrt[3]{\frac{5}{2}}

$\sum_{n=0}^{\infty} \prod_{i=1}^{n} \frac{3i-2}{5i} = \sqrt[3]{\frac{5}{2}}$ Pero no tengo ni idea de por qué o cómo esto es cierto... ¡Cualquier ayuda para resolver esto sería muy apreciada!

editar ayuda de Thomas Andrews y GFauxPas.

Tomas Andrews

Bueno, una cosa que debe saber es que un producto vacío se define como

1

$1$ , por lo que puede cambiar el lado izquierdo a

\sum_{n = 0}^{n} \dots

$\sum_{n=0}^n\cdots$ y quitar el

- 1

$-1$ desde la derecha Podría aclarar un enfoque de serie de potencias.

GFauxPass

"La respuesta a mi pregunta", ¿cuál es tu pregunta?

lee pescador

@GFauxPas: Mi pregunta era a qué sumaba esa suma; ahora quiero saber cómo obtener eso con un sistema de álgebra computarizado que me lo escupió.

lee pescador

@Thomas Andrews: ¡Gracias, lo editaré!

Akiva Weinberger

¿Conoces el teorema del binomio para exponentes fraccionarios? (Si no es así, trate de cortar cada lado en cubos con el producto Cauchy ).

Respuestas (1)

Suma del producto de (3i - 2)/(5i)

Bueno, una cosa que debe saber es que un producto vacío se define como $1$ , por lo que puede cambiar el lado izquierdo a $\sum_{n=0}^n\cdots$ y quitar el $-1$ desde la derecha Podría aclarar un enfoque de serie de potencias.
@GFauxPas: Mi pregunta era a qué sumaba esa suma; ahora quiero saber cómo obtener eso con un sistema de álgebra computarizado que me lo escupió.
¿Conoces el teorema del binomio para exponentes fraccionarios? (Si no es así, trate de cortar cada lado en cubos con el producto Cauchy ).

Tomas Andrews · Answer 1

Pista : creo que si expandes la serie de potencias para:

F (X) = (1 - X)^{- 1 / 3}

$f(x)=(1-x)^{-1/3}$ alrededor

0

$0$ , y luego evaluar en

x = \frac{3}{5}

$x=\frac{3}{5}$ , obtendrás tu resultado.

La serie de potencias para $f$ es,

F (X) = \sum_{norte = 0}^{\infty} (\frac{X^{norte}}{norte!} \prod_{i = 1}^{norte} \frac{3 i - 2}{3})

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^n}{n!} \prod_{i=1}^n \frac{3i-2}{3}\right)$

Y:

\frac{X^{norte}}{norte!} \prod_{i = 1}^{norte} \frac{3 i - 2}{3} = \prod_{i = 1}^{norte} \frac{X (3 i - 2)}{3 i}

$\frac{x^n}{n!} \prod_{i=1}^n \frac{3i-2}{3} =\prod_{i=1}^n \frac{x(3i-2)}{3i}$

olvidaste el $\frac{1}{n!}$ , que es necesario para que el denominador de la respuesta sea $5i$ en vez de $5$ . Pero sí, esta es una buena solución.

Suma del producto de (3i - 2)/(5i)

lee pescador

Tomas Andrews

GFauxPass

lee pescador

lee pescador

Akiva Weinberger

Respuestas (1)

Tomas Andrews

marca fischler

Tomas Andrews

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Expansión asintótica de exp(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12;1;x))exp⁡(−π2F1(12,12,1;1−x)2F1(12,12 ;1;x))\exp\left(-\pi\frac {_2F_1(\frac12, \frac12, 1; 1-x)}{_2F_1(\frac12, \frac12;1;x)}\right)

Convergencia de una serie infinita particular

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

∑n=1∞a2n∑n=1∞an2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n^2 y ∑n=1∞b2n∑n=1∞bn2\sum\limits_{n=1}^ \infty b_n^2 converge mostrar ∑n=1∞anbn∑n=1∞anbn\sum\limits_{n=1}^\infty a_n b_n converge absolutamente

Prueba de convergencia/divergencia de ∑∞n=1(−1)nsin(nπ)∑n=1∞(−1)nsin⁡(nπ)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^ n\sen\left(\frac{n}{\pi}\right)

¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Una prueba de ϵϵ\epsilon

Interversión de límite y suma de secuencia de doble índice [cerrado]

Necesito ayuda para aplicar la prueba de raíz para: ∑n=1∞(2e−8n−1)n∑n=1∞(2e−8n−1)n\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left (\frac{2}{e^{-8n}-1}\right)^n