Interversión de límite y suma de secuencia de doble índice [cerrado]

Podemos traducir los teoremas de convergencia monótona y dominada de Lebesgue a sucesiones$f_m = (a_{m, n})_{n=1}^\infty$y$f = (a_n)_{n=1}^\infty$.

El teorema de convergencia monótona de Lebesgue nos dice que si$f_m$es creciente entonces

Otro teorema es el teorema de convergencia dominada de Lebesgue. Dice que si existe una función$g = (b_n)_{n=1}^\infty$que limita$f_m\leq g$desde arriba, es decir$a_{m, n}\leq b_n$para todos$m, n$, y$g$es integrable, es decir,

Esos son teoremas muy importantes en la teoría de las integrales de Lebesgue. Al tratar sumas infinitas como integrales, podemos derivar declaraciones sobre sumas infinitas como la anterior.

Puedes concluir que$\sum_{n=0}^{\infty} a_{m,n} \rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} a_n$si (pero no solo si ) existe$b_n \geq 0$tal que$\sum_0^{\infty}b_n < +\infty$dónde$|a_{m,n}| \leq b_n$para todos$n,m \in \mathbb{N}$. Esta es una versión del famoso teorema de la convergencia dominada donde el espacio de medida es$(\mathbb{N},\mu)$con$\mu(A)=\# A$.